Углы Эйлера

Углы Эйлера.

Анимация поочерёдного поворота сферы на углы Эйлера

Углы Эйлера — углы, описывающие поворот абсолютно твердого тела в трёхмерном евклидовом пространстве. Введены Леонардом Эйлером.

В сравнении с углами Эйлера кватернионы позволяют комбинировать вращения, а также избежать проблемы, связанной с невозможностью поворота вокруг оси независимо от совершённого вращения по другим осям (см. Кватернионы и вращение пространства).

Определение

Углы Эйлера определяют три поворота системы, которые позволяют привести любое положение системы к текущему. Обозначим начальную систему координат как ${\displaystyle (x,y,z)}$, конечную как ${\displaystyle (X,Y,Z)}$. Пересечение координатных плоскостей ${\displaystyle xy}$ и ${\displaystyle XY}$ называется линией узлов ${\displaystyle N}$.

• Угол ${\displaystyle \alpha }$ между осью ${\displaystyle x}$ и линией узлов — угол прецессии.
• Угол ${\displaystyle \beta }$ между осями ${\displaystyle z}$ и ${\displaystyle Z}$ — угол нутации.
• Угол ${\displaystyle \gamma }$ между линией узлов и осью ${\displaystyle X}$ — угол собственного вращения.

Повороты системы на эти углы называются прецессия, нутация и поворот на собственный угол (вращение). Такие повороты некоммутативны, и конечное положение системы зависит от порядка, в котором совершаются повороты. В случае углов Эйлера производится серия из трёх поворотов:

1. На угол ${\displaystyle \alpha }$ вокруг оси ${\displaystyle z}$. При этом ось ${\displaystyle x}$ переходит в ${\displaystyle N}$.
2. На угол ${\displaystyle \beta }$ вокруг оси ${\displaystyle N}$. При этом ось ${\displaystyle z}$ переходит в ${\displaystyle Z}$.
3. На угол ${\displaystyle \gamma }$ вокруг оси ${\displaystyle Z}$. При этом ось ${\displaystyle N}$ переходит в ${\displaystyle X}$.

Иногда такую последовательность называют 3,1,3 (или Z,X,Z), но такое обозначение может приводить к двусмысленности.

Формулы

Углы Эйлера описывают последовательную комбинацию пассивных поворотов вокруг осей вращающейся системы координат. Тогда их матрицы поворотов имеют вид${\displaystyle R_{Z}(\alpha )=\left({\begin{array}{ccc}\cos(\alpha )&-\sin(\alpha )&0\\\sin(\alpha )&\cos(\alpha )&0\\0&0&1\\\end{array}}\right),\quad R_{X}(\beta )=\left({\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&\cos(\beta )&-\sin(\beta )\\0&\sin(\beta )&\cos(\beta )\\\end{array}}\right),\quad R_{Z}(\gamma )=\left({\begin{array}{ccc}\cos(\gamma )&-\sin(\gamma )&0\\\sin(\gamma )&\cos(\gamma )&0\\0&0&1\\\end{array}}\right).}$

Последовательное выполнение этих поворотов (если оси вращаются вместе с объектом) даст матрицу

${\displaystyle R=R_{Z}(\alpha )\cdot R_{X}(\beta )\cdot R_{Z}(\gamma )=\left({\begin{array}{ccc}\cos \alpha \cos \gamma -\sin \alpha \cos \beta \sin \gamma &-\cos \alpha \sin \gamma -\sin \alpha \cos \beta \cos \gamma &\sin \alpha \sin \beta \\\sin \alpha \cos \gamma +\cos \alpha \cos \beta \sin \gamma &-\sin \alpha \sin \gamma +\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma &-\cos \alpha \sin \beta \\\sin \beta \sin \gamma &\sin \beta \cos \gamma &\cos \beta \end{array}}\right).}$

Произведение ${\displaystyle R\cdot {\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}}$, где ${\displaystyle x,y,z}$ — координаты точки до поворота, даст координаты точки в подвижной системе координат после поворота. До и после поворота координаты точки в неподвижной системе координат неизменны.

См. также

• Список объектов, названных в честь Леонарда Эйлера
• Крен, тангаж и рыскание — угловые движения летательного аппарата или другого транспортного средства
• Матрица поворота
• Шесть степеней свободы
• Складывание рамок

Литература

• Берёзкин Е. Н. Курс теоретической механики — 2-е изд., пер. — М.: Изд-во МГУ. 1974. — 641 с.
• Журавлёв В. Ф. Основы теоретической механики — 2-е изд. — М.: Физматлит, 2001. С. 23.
• Уиттекер Э. Аналитическая динамика С.25