Ток вероятности

В квантовой механике ток вероятности (или поток вероятности) описывает изменение функции плотности вероятности.

Определение

Ток вероятности ${\displaystyle {\vec {j}}}$ определяется как

${\displaystyle {\vec {j}}={\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi ^{*}\nabla \Psi -\Psi \nabla \Psi ^{*}\right)={\frac {\hbar }{m}}{\mbox{Im}}(\Psi ^{*}\nabla \Psi )}$,

где ${\displaystyle \Psi }$ — волновая функция частицы массой ${\displaystyle m}$, звёздочка обозначает комплексное сопряжение, ${\displaystyle \nabla }$ — оператор набла, ${\displaystyle \hbar }$ — редуцированная постоянная Планка, ${\displaystyle i}$ — мнимая единица, ${\displaystyle \mathrm {Im} }$(...) — «мнимая часть» выражения в скобках.

Размерность

Размерность квантовомеханического тока вероятности в системе СИ, как следует из определения данной величины, — м^-2c^-1, что соответствует физическому смыслу. При этом подразумевается, что волновая функция имеет размерность м^-3/2.

Свойства

Вектор ${\displaystyle {\vec {j}}}$ удовлетворяет квантово-механическому уравнению непрерывности

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot {\vec {j}}=0}$

с плотностью вероятности ${\displaystyle \rho }$, заданной как

${\displaystyle \rho =|\Psi |^{2}}$.

Уравнение непрерывности эквивалентно интегральному уравнению

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\int \limits _{V}|\Psi |^{2}dV+\int \limits _{S}{\vec {j}}\cdot d{\vec {S}}=0}$,

где ${\displaystyle V}$ — объём, ${\displaystyle t}$ — время и ${\displaystyle S}$ — граница объёма ${\displaystyle V}$. Это закон сохранения для плотности вероятности в квантовой механике.

Интеграл в первом слагаемом последнего уравнения (без производной по времени) — вероятность нахождения частицы в пределах объёма ${\displaystyle V}$ в момент измерения её положения. Второе слагаемое — скорость, с которой вероятность «вытекает» из объема ${\displaystyle V}$. В целом уравнение гласит, что производная по времени от вероятности нахождения частицы в объёме ${\displaystyle V}$ равна скорости, с которой вероятность «втекает» в этот объём.

Примеры

Плоская волна

Ток вероятности, который можно сопоставить плоской волне

${\displaystyle \Psi =Ae^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}e^{-i\omega t}}$

(где ${\displaystyle {\vec {r}}}$ — радиус-вектор точки наблюдения, ${\displaystyle {\vec {k}}}$ — волновой вектор волны де Бройля, ${\displaystyle \omega }$ — её частота, ${\displaystyle A}$ — амплитуда), запишется в виде

${\displaystyle {\vec {j}}={\frac {\hbar }{2mi}}|A|^{2}\left(e^{-i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}\nabla e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}-e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}\nabla e^{-i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}\right)=|A|^{2}{\frac {\hbar {\vec {k}}}{m}}.}$

Это произведение квадрата амплитуды волны на скорость частицы (${\displaystyle {\vec {p}}=m{\vec {v}}=\hbar {\vec {k}}}$ — импульс):

${\displaystyle {\vec {v}}={\frac {\vec {p}}{m}}={\frac {\hbar {\vec {k}}}{m}}}$.

Несмотря на то, что плоские волны отвечают стационарным состояниям и, следовательно,

${\displaystyle {\frac {d|\Psi |^{2}}{dt}}=0}$

во всём пространстве, ток вероятности отличен от нуля. Это демонстрирует, что частица может двигаться даже если её пространственная плотность вероятности не имеет никакой явной зависимости от времени.

Частица в ящике

Под [одномерным] «ящиком» в квантовой механике понимается область (${\displaystyle 0<x<L}$, ${\displaystyle L}$ — ширина области вдоль координаты ${\displaystyle x}$) постоянной потенциальной энергии, ограниченная бесконечными стенками. По двум другим координатам (${\displaystyle y}$, ${\displaystyle z}$) движение считается свободным, то есть ширины (${\displaystyle L_{y}}$, ${\displaystyle L_{z}}$) области по этим координатам очень велики. Для такой области волновые функции частицы запишутся в виде

${\displaystyle \Psi _{n}={\sqrt {\frac {2}{L}}}{\sqrt {\frac {1}{L_{y}L_{z}}}}\sin \left({\frac {n\pi }{L}}x\right)}$

и ноль справа и слева от ямы (${\displaystyle x<0}$ или ${\displaystyle x>L}$). Тогда ток запишется в виде

${\displaystyle j_{n}={\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi _{n}^{*}{\frac {\partial \Psi _{n}}{\partial x}}-\Psi _{n}{\frac {\partial \Psi _{n}^{*}}{\partial x}}\right)=0}$,

поскольку ${\displaystyle \Psi _{n}=\Psi _{n}^{*}.}$

Вывод уравнения непрерывности

В этом разделе уравнение непрерывности выводится из определения тока вероятности и основных принципов квантовой механики.

Предположим что ${\displaystyle \Psi }$ — волновая функция для частицы, зависящая от трёх переменных ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, и ${\displaystyle z}$). Тогда

${\displaystyle P=\int \limits _{V}|\Psi |^{2}dV}$

определяет вероятность измерить позицию частицы в объёме ${\displaystyle V}$. Производная по времени запишется в виде

${\displaystyle {\frac {dP}{dt}}={\frac {\partial }{\partial t}}\int \limits _{V}|\Psi |^{2}dV=\int \limits _{V}\left({\frac {\partial \Psi }{\partial t}}\Psi ^{*}+\Psi {\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial t}}\right)dV}$,

где последнее равенство предполагает, что частную производную по времени можно внести под интеграл (форма объёма ${\displaystyle V}$ не зависит от времени).

Для дальнейшего упрощения рассмотрим нестационарное уравнение Шрёдингера

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi +V\Psi }$

и используем его для того, чтобы выделить производную по времени от ${\displaystyle \Psi }$:

${\displaystyle {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}={\frac {i\hbar }{2m}}\nabla ^{2}\Psi -{\frac {i}{\hbar }}V\Psi }$.

Подстановка в предыдущее уравнение для ${\displaystyle {\frac {dP}{dt}}}$ даёт

${\displaystyle {\frac {dP}{dt}}=-\int \limits _{V}{\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi ^{*}\nabla ^{2}\Psi -\Psi \nabla ^{2}\Psi ^{*}\right)dV}$.

Теперь после перехода к дивергенции имеем

${\displaystyle \nabla \cdot \left(\Psi ^{*}\nabla \Psi -\Psi \nabla \Psi ^{*}\right)=\nabla \Psi ^{*}\cdot \nabla \Psi +\Psi ^{*}\nabla ^{2}\Psi -\nabla \Psi \cdot \nabla \Psi ^{*}-\Psi \nabla ^{2}\Psi ^{*}}$

и, поскольку первое и третье слагаемое сокращаются, приходим к

${\displaystyle {\frac {dP}{dt}}=-\int \limits _{V}\nabla \cdot {\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi ^{*}\nabla \Psi -\Psi \nabla \Psi ^{*}\right)dV}$.

Теперь, используя выражение для ${\displaystyle P}$ и замечая, что выражение, на которое действует оператор набла, есть ${\displaystyle {\vec {j}}}$, запишем:

${\displaystyle \int \limits _{V}\left({\frac {\partial |\Psi |^{2}}{\partial t}}+\nabla \cdot {\vec {j}}\right)dV=0}$,

которое является интегральной формой уравнения непрерывности. Дифференциальная форма следует из того факта, что предыдущее уравнение выполнено для всех «объёмов» ${\displaystyle V}$, и интеграл можно опустить:

${\displaystyle {\frac {\partial |\Psi |^{2}}{\partial t}}+\nabla \cdot {\vec {j}}=0}$.