Тетраэдр Рёло

Тетраэдр Рёло

Тетра́эдр Рёло́ — тело, являющееся пересечением четырёх одинаковых шаров, центры которых расположены в вершинах правильного тетраэдра, а радиусы равны стороне этого тетраэдра. Это тело является пространственным аналогом треугольника Рёло как пересечения трёх кругов на плоскости.

Однако, в отличие от треугольника Рёло, тетраэдр Рёло не является телом постоянной ширины: расстояние между серединами противоположных граничных криволинейных рёбер, соединяющих его вершины, в

${\displaystyle {\sqrt {3}}-{\frac {\sqrt {2}}{2}}=1{,}02494\ldots }$

раз больше, чем ребро исходного правильного тетраэдра[1][2].

Тела Мейсснера

Тетраэдр Рёло можно видоизменить так, чтобы получившееся тело оказалось телом постоянной ширины. Для этого в каждой из трёх пар противоположных криволинейных рёбер одно ребро определённым образом «сглаживается»[2][3]. Получающиеся таким способом два различных тела (три ребра, на которых происходят замены, могут быть взяты либо исходящими из одной вершины, либо образующими треугольник[3]) называются телами Мейсснера, или тетраэдрами Мейсснера[1][4]. Сформулированная Томми Боннесеном и Вернером Фенхелем в 1934 году[5] гипотеза утверждает, что именно эти тела минимизируют^[источник не указан 4367 дней] объём среди всех тел заданной постоянной ширины, однако (по состоянию на 2019 год) эта гипотеза не доказана[2].

Примечания

1. Weisstein E. W.. Reuleaux Tetrahedron (англ.). MathWorld. Дата обращения: 15 сентября 2011. Архивировано 3 сентября 2011 года.
2. Kawohl B., Weber C. Meissner’s Mysterious Bodies (англ.) // Mathematical Intelligencer. — 2011. — Vol. 33, no. 3. — P. 94—101. — doi:10.1007/s00283-011-9239-y. Архивировано 13 июля 2012 года.
3. Gardner. The Unexpected Hanging and Other Mathematical Diversions, 1991, p. 218.
4. Weber C. Meissner Bodies – interactive (англ.). SwissEduc. Дата обращения: 17 марта 2013. Архивировано 22 марта 2013 года.
5. Bonnesen T., Fenchel W. Theorie der konvexen Körper. — Berlin: Springer-Verlag, 1934. — P. 127—139.  (нем.)

Литература

• Gardner M. Chapter 18: Curves of Constant Width // The Unexpected Hanging and Other Mathematical Diversions. — Chicago; London: University of Chicago Press, 1991. — P. 212—221. — 264 p. — ISBN 978-0-2262-8256-5.  (англ.)
• Kawohl B. Convex Sets of Constant Width (англ.) // Oberwolfach Reports. — 2009. — Vol. 6. — P. 390—393.
• Weber C. Bodies of Constant Width (англ.). SwissEduc. Дата обращения: 17 марта 2013. Архивировано 22 марта 2013 года.