Теория Куммера

В алгебраической теории чисел теория Куммера дает описание некоторых видов расширений поля, состоящих в добавлении к исходному полю корня n-ой степени из его элемента. Теория была разработана Эрнстом Эдуардом Куммером около 1840 года в его работе, связанной с теоремой Ферма.

При условии, что характеристика поля p взаимно проста с n при p > 0, основное утверждение теории не зависит от природы поля и потому относится к общей алгебре.

Теория Куммера имеет аналог для случая n=р (теория Артина — Шрейера). Роль группы ${\displaystyle \mu _{n}}$ (см. ниже) в этом случае играет аддитивная группа простого подполя ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ исходного поля.

Существует также принадлежащее Э. Витту обобщение этой теории для случая ${\displaystyle n=p^{s}}$, где ${\displaystyle s>1}$, использующее векторы Витта.

Теория Куммера является базовой, например, в теории полей классов и в понимании абелевых расширений. Она утверждает, что при наличии достаточного числа корней из единицы циклические расширения могут быть поняты в терминах выделения корней.

Расширения Куммера

Расширение Куммера — это расширение поля L/K (то есть вложение поля K в поле L), такое что для некоторого целого n > 1 выполняются следующие два условия:

• K содержит n различных корней из единицы n-ой степени (то есть все корни уравнения x^n−1)
• L/K содержит абелеву группу Галуа степени n (то есть n — наименьшее общее кратное порядков элементов этой группы).

Например, для n = 2 первое условие всегда верно, если характеристика K ≠ 2. Расширения Куммера в этом случае включают квадратичные расширения L = K(√a), где a в K не является квадратом. При решении квадратных уравнений любое расширение K степени 2 имеет такой вид. Расширение Куммера включает в этом случае также биквадратные расширения и, обобщенно, мультиквадратные расширения. При характеристике K, равной 2, такие расширения Куммера отсутствуют.

При n = 3 не существует расширений Куммера степени 3 в поле рациональных чисел Q, поскольку нужны три кубических корня из 1, так что нужны комплексные числа. Если L — поле разложения X^3 − a над Q, где a не является кубом рационального числа, то L содержит подполе K с тремя кубическими корнями из 1. Последнее следует из факта, что если α и β — корни кубического многочлена, мы должны получить (α/β)^3 =1, что является сепарабельным многочленом. Таким образом, L/K — расширение Куммера.

Обобщая, если K содержит n различных корней из единицы n-ой степени и характеристика K не делит n, добавление к K корня n-ой степени из какого-либо элемента a из K образует расширение Куммера (степени m, которое делит n).

В качестве поля разложения полинома X^n − a расширение Куммера необходимо в расширении Галуа циклической группы Галуа порядка m.

Теория Куммера

Теория Куммера утверждает, что при наличии в K первообразного корня степени n, любое циклическое расширение K степени n образуется присоединением корня n-ой степени.

Если K^× — мультипликативная группа ненулевых элементов K, циклические расширения K степени n соответствуют однозначно циклическим подгруппам

${\displaystyle K^{\times }/(K^{\times })^{n},}$

то есть элементы K^× по модулю n-х степеней.

Соответствие можно записать следующим образом: пусть задана циклическая подгруппа

${\displaystyle \Delta \subseteq K^{\times }/(K^{\times })^{n},}$

соответствующее расширение задается формулой

${\displaystyle K(\Delta ^{1/n}),}$

то есть присоединением n-х корней элементов Δ к K.

И обратно, если L — расширение Куммера для K, то Δ задается формулой

${\displaystyle \Delta =K^{\times }\cap (L^{\times })^{n}.}$

В этом случае существует изоморфизм

${\displaystyle \Delta \cong \operatorname {Hom} (\operatorname {Gal} (L/K),\mu _{n}),}$

задаваемый формулой

${\displaystyle a\mapsto {\biggl (}\sigma \mapsto {\frac {\sigma (\alpha )}{\alpha }}{\biggr )},}$

где α — любой корень из a n-ой степени в L.

Обобщения

Имеется небольшое обобщение теории Куммера на абелевы расширения группы Галуа степени n, и аналогичное утверждение верно в этом контексте. А именно, можно доказать, что такие расширения являются однозначным отображением в подгруппы

${\displaystyle K^{\times }/(K^{\times })^{n}.}$

Если основное поле K не содержит корней из единицы n-ой степени, иногда используют изоморфизм

${\displaystyle K^{\times }/(K^{\times })^{n}{\stackrel {\sim }{\rightarrow }}H^{1}(G_{K},\mu _{n}).}$

См. также

• Квадратичное поле

Ссылки

• Bryan Birch, "Cyclotomic fields and Kummer extensions", in J.W.S. Cassels and A. Frohlich (edd), Algebraic number theory, Academic Press, 1973. Chap.III, pp. 85–93.
• Ленг С., Алгебра, пер. с англ., М., 1968;
• Алгебраическая теория чисел, пер. с англ., М., 1969;
• Таkahashi S., "J. Math. Soc. Japan", 1968, v. 20, № 1-2, p. 365