Поле разложения

По́ле разложе́ния многочлена p над полем ${\displaystyle K}$ — наименьшее расширение ${\displaystyle L}$ поля ${\displaystyle K,}$ над которым ${\displaystyle p}$ разлагается в произведение линейных множителей:

${\displaystyle p(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2})...(x-x_{n}),}$ где ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}\in L\supseteq K.}$

При этом ${\displaystyle L=K(x_{1},\dots ,x_{n}),}$ то есть это максимально возможное поле, все элементы где могут быть образованы сложением и умножением элементов поля ${\displaystyle K}$ и чисел ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$ как друг с другом, так и между собой. Поэтому о поле ${\displaystyle L}$ разложения говорят как о расширении, полученном присоединением к ${\displaystyle K}$ всех корней данного многочлена.

Аналогично вводится понятие поля разложения семейства многочленов ${\displaystyle p_{i}(x),i\in I}$ — такого расширения L, что каждый p_i разлагается в L[x] на линейные множители и L порождается над K всеми корнями p_i. Поле разложения конечного множества многочленов p₁, p₂, …, p_n, будет, очевидно, полем разложения их произведения p=p₁p₂…p_n.

Поля разложения являются нормальными расширениями. Более того, каждое нормальное расширение можно представить как поле разложения некоторого семейства многочленов.

Свойства

• Поле разложения конечного семейства многочленов является конечным алгебраическим расширением поля ${\displaystyle K}$.
• Поле разложения многочлена существует для любого семейства многочлена p_i и определено однозначно с точностью до изоморфизма, тождественного на K.

Примеры

• Если степень многочлена ${\displaystyle p}$ не превосходит ${\displaystyle 1}$, то ${\displaystyle L=K}$.
• Поле комплексных чисел ${\displaystyle \mathbb {C} }$ служит полем разложения многочлена ${\displaystyle x^{2}+1}$ над полем ${\displaystyle \mathbb {R} }$ вещественных чисел.
• Любое конечное поле ${\displaystyle GF(q)}$, где ${\displaystyle q=p^{n}}$, есть поле разложения многочлена ${\displaystyle x^{q}-x}$ над простым подполем ${\displaystyle GF(p)\subset GF(q)}$.

Литература

• Ван дер Варден Б.Л. Алгебра -М:, Наука, 1975
• Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра т.1 -М:, ИЛ, 1963
• Ленг С. Алгебра -М:, Мир, 1967