Нормальное расширение

Норма́льное расшире́ние — алгебраическое расширение поля ${\displaystyle K\subset E}$ для которого каждый неприводимый многочлен ${\displaystyle f(x)}$ над ${\displaystyle K}$, имеющий хотя бы один корень в ${\displaystyle E}$, разлагается в ${\displaystyle E}$ на линейные множители.

Равносильное определение: Если ${\displaystyle K\subset E\subset K^{*}}$, где ${\displaystyle K^{*}}$ — алгебраическое замыкание поля ${\displaystyle K}$, то ${\displaystyle E}$ нормально, если любой изоморфизм ${\displaystyle \sigma }$ поля ${\displaystyle E}$ в алгебраическое замыкание ${\displaystyle K^{*}}$ над ${\displaystyle K}$ является автоморфизмом поля ${\displaystyle E}$.

Нормальное расширение как поле разложения

Всякое расширение ${\displaystyle K\subset E}$ является нормальным тогда и только тогда, когда ${\displaystyle E}$ является полем разложения некоторого множества многочленов из ${\displaystyle K[x]}$.

Нормальные расширения в соответствии Галуа

Если ${\displaystyle F}$ — расширение Галуа поля ${\displaystyle K}$, а ${\displaystyle E}$ — какое-нибудь промежуточное подполе ${\displaystyle K\subset E\subset F}$, то группа Галуа ${\displaystyle \operatorname {Gal} (F/E)}$ по определению состоит из всех автоморфизмов ${\displaystyle F}$, оставляющих элементы ${\displaystyle E}$ неподвижными. Если ${\displaystyle \sigma }$ — какой-нибудь автоморфизм полной группы Галуа ${\displaystyle \operatorname {Gal} (F/K)}$, отображающий ${\displaystyle E}$ на ${\displaystyle \sigma (E)}$ то, очевидно, что

${\displaystyle \operatorname {Gal} (F/\sigma E)=\sigma \operatorname {Gal} (F/E)\sigma ^{-1}}$

Поэтому расширение ${\displaystyle E}$ нормально тогда и только тогда, когда подгруппа ${\displaystyle \operatorname {Gal} (F/E)}$ является нормальной подгруппой в ${\displaystyle \operatorname {Gal} (F/K)}$ (отсюда и терминология).

Литература

• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. М.: Наука, 1975.
• Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра, том 1. М.: ИЛ, 1963.
• Ленг С. Алгебра. М.: Мир, 1967.