Теорема PCP

В теории вычислительной сложности теорема PCP (англ. probabilistically checkable proofs — вероятностно проверяемое доказательство) утверждает, что любое решение задачи принятия решения^[англ.] в классе сложности NP имеет вероятностно проверяемое доказательство (доказательство, которое можно проверить с помощью рандомизированного алгоритма) постоянной сложности запроса^[англ.] и логарифмической сложности случайности (использует логарифмическое число случайных бит).

Теорема PCP является угловым камнем теории вычислительной сложности аппроксимации, которая исследует врождённую сложность при разработке эффективных аппроксимационных алгоритмов для различных задач оптимизации. Теорема отмечена Инго Вегенером^[англ.] как «самый важный результат в теории сложности со времён теоремы Кука»[1] и Одедом Голдрейхом как «кульминация цепи впечатляющих работ […], богатых новыми идеями»[2].

Есть и критика. Так, в книге Босса[3] говорится: «В своё время это произвело фурор. Снежный ком публикаций нарастает до сих пор … Новое, по существу, определение NP-класса проливает дополнительный свет, однако без особых последствий. … Что касается самой PCP-системы, то она существенно опирается на волшебного Оракула, и поэтому не выпускает равенство NP = PCP[O(log n), O(1)] в практическую плоскость».

Теорема PCP утверждает, что

NP = PCP[O(log n), O(1)][3][4].

PCP и сложность аппроксимации

Альтернативная формулировка теоремы PCP утверждает, что поиск максимальной доли выполненных условий в задаче о выполнении ограничивающих условий^[англ.] является NP-трудной для аппроксимации с постоянным коэффициентом.

Формально, для некоторой константы K и α < 1, задача (L_yes, L_no) является NP-сложной проблемой принятия решения:

• L_yes = {Φ: все ограничения в Φ выполнимы}
• L_no = {Φ: при любой подстановке доля выполненных ограничений Φ не превосходит α }.

Здесь Φ — задача о выполнении ограничивающих условий над булевским алфавитом, имеющем не более K переменных на константу[5]

Как следствие этой теоремы можно показать, что решения многих задач оптимизации, включая поиск максимальной выполнимости булевых формул, максимального независимого множества в графе и кратчайшего вектора решётки^[англ.], нельзя эффективно аппроксимировать, если только не выполняется P = NP.

Эти результаты иногда также называют теоремами PCP, поскольку их можно рассматривать как вероятностно проверяемые доказательства NP задач с некоторыми дополнительными структурами.

История

Теорема PCP — это кульминация долгого пути развития интерактивных доказательств^[англ.] и вероятностно проверяемых доказательств.

Первая теорема, связывающая обычные доказательства и вероятностно проверяемые доказательства, утверждала, что ${\displaystyle NEXP\subseteq PCP[poly(n),poly(n)]}$, и доказана в книге 1990 года[6].

История после первого доказательства теоремы в 1990 году

Позднее, использованный в этой статье метод, расширен в статье Бабая, Фортнова, Левина, Шегеди (1991)[7], а также в статьях Фейге, Голдвассер, Лунда, Шегеди (1991), и Арора и Сафра (1992)[8], что дало урожай в виде доказательства теоремы PCP в 1992 году в статье Арора, Лунда, Мотвани, Судана и Шегеди[9]. В 2001 году Премия Гёделя присуждена Санджив Ароре, Уриэлю Фейге, Шафи Голдвассер, Карстену Лунду^[англ.], Ласло Ловас, Радживу Мотвани, Шмуелю Сафра^[англ.], Мадху Судану и Марио Сегеди^[англ.] за работу над теоремой PCP и её связи со сложностью аппроксимации.

В 2005 году Ирит Динур обнаружила другое доказательство теоремы PCP, используя экспандеры[5].

Квантовый аналог теоремы PCP

В 2012 году Томас Видик (Thomas Vidick) и Цуёси Ито (Tsuyoshi Ito) опубликовали статью[10], в которой показывается «сильная ограниченность возможности сложных проверок сговора в игре многих лиц». Это важный шаг вперёд к доказательству квантового аналога теоремы PCP[11], и профессор Дорит Ахаронов (Dorit Aharonov) назвала его «квантовым аналогом более ранней статьи об интерактивных проверках», которая, «по существу, вела к теореме PCP»[12].

Примечания

1. Ingo Wegener. Nondeterministic exponential time has two-prover interactive protocols // Complexity Theory: Exploring the Limits of Efficient Algorithms. — Springer, 2005. — ISBN 978-3-540-21045-0.
2. Oded Goldreich. Computational Complexity: A Conceptual Perspective. — Cambridge University Press, 2008. — ISBN 978-0-521-88473-0. Архивировано 12 ноября 2023 года.
3. Босс В. Перебор и эффективные алгоритмы: Учебное пособие. — М.: Издательство ЛКИ, 2008. — Т. 10. — (Лекции по математике). — ISBN 978-5-382-00642-0.
4. Jose Falcon, Mitesh Jain. An Introduction to Probabilistically Checkable Proofs and the PCP Theorem. — 2013. — С. 3. Архивировано 14 февраля 2019 года.
5. Irit Dinur. The PCP theorem by gap amplification // Journal of the ACM. — 2007. — Т. 54, вып. 3. — С. 70—122. — doi:10.1145/1236457.1236459.
6. László Babai, Lance Fortnow, Carsten Lund. Nondeterministic exponential time has two-prover interactive protocols // SFCS '90: Proceedings of the 31st Annual Symposium on Foundations of Computer Science. — IEEE Computer Society, 1990. — С. 16—25. — ISBN 978-0-8186-2082-9.
7. László Babai, Lance Fortnow, Leonid Levin, Mario Szegedy. Checking computations in polylogarithmic time // STOC '91: Proceedings of the twenty-third annual ACM symposium on Theory of computing. — ACM, 1991. — P. 21—32. — ISBN 978-0-89791-397-3.
8. Sanjeev Arora, Shmuel Safra. Probabilistic checking of proofs: A new characterization of NP // Journal of the ACM. — 1998. — Т. 45, вып. 1. — С. 70—122. — doi:10.1145/273865.273901.
9. Sanjeev Arora, Carsten Lund, Rajeev Motwani, Madhu Sudan, Mario Szegedy. Proof verification and the hardness of approximation problems // Journal of the ACM. — 1998. — Т. 45, вып. 3. — С. 501—555. — doi:10.1145/278298.278306.
10. Vidick, Thomas; Ito, Tsuyoshi. A multi-prover interactive proof for NEXP sound against entangled provers  (неопр.).
11. Hardesty, Larry. MIT News Release: 10-year-old problem in theoretical computer science falls  (неопр.). MIT News Office (30 июля 2012). — «Интерактивные проверки являются базисом криптографических систем и сейчас широко применяются, но для учёных в области компьютерных технологий они лишь важное средство проникновения в суть проблем сложности вычислений.» Дата обращения: 10 августа 2012. Архивировано 10 августа 2012 года.
12. Hardesty, Larry. 10-year-old problem in theoretical computer science falls  (неопр.). MIT News Office (31 июля 2012). — «Дорит Ахаронов (Dorit Aharonov), профессор Еврейского университета в Иерусалиме, сказала, что статья Видика (Vidick) и Ито(Ito) является квантовым аналогом более ранней статьи об интерактивных доказательствах, которая “по существу, вела к теореме PCP, а сама теорема PCP без сомнения является наиболее важным результатом в теории сложности за последние 20 лет”. Он сказал также, что новая статья “по всей видимости, является важным шагом вперед к доказательству квантового аналога теоремы PCP, которая является сейчас главным открытым вопросом в теории сложности квантовых вычислений.”». Дата обращения: 10 августа 2012. Архивировано 9 августа 2012 года.

Литература

• Uriel Feige, Shafi Goldwasser, László Lovász, Shmuel Safra, Mario Szegedy. Interactive proofs and the hardness of approximating cliques // Journal of the ACM. — 1996. — Т. 43, вып. 2. — С. 268—292. — doi:10.1145/226643.226652.