Теорема Хелли

На плоскости, непустое пересечения всех троек выпуклых фигур влечёт, что пересечение всех непусто

Теорема Хелли — классический результат комбинаторной геометрии и выпуклого анализа. Теорема даёт условие на семейство выпуклых множеств, гарантирующее то, что это семейство имеет непустое пересечение.

Формулировки

Конечные семейства

Предположим, что

${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}}$

есть конечное семейство выпуклых подмножеств евклидова пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$, такое что ${\displaystyle n>d}$ и пересечение любых ${\displaystyle d+1}$ из них непусто. Тогда пересечение всех подмножеств из этого семейства непусто, то есть

${\displaystyle \bigcap _{j=1}^{n}X_{j}\neq \emptyset }$.[1]

Бесконечные семейства

Для бесконечных семейств необходимо дополнительно потребовать компактность:

Пусть ${\displaystyle \{X_{\alpha }\}}$ есть произвольное семейство выпуклых компактных подмножеств ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$, такое что пересечение любых ${\displaystyle d+1}$ из них непусто. Тогда пересечение всех подмножеств из этого семейства непусто.

Следствия

• Теорема Юнга: Пусть ${\displaystyle S}$ есть конечное множество точек в ${\displaystyle d}$-мерном евклидовом пространстве ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ такое, что любые ${\displaystyle d+1}$ точек из ${\displaystyle S}$ можно накрыть единичным шаром. Тогда и всё множество ${\displaystyle S}$ можно накрыть единичным шаром.
• Радиус Юнга: Пусть ${\displaystyle X}$ — множество точек в ${\displaystyle d}$-мерном евклидовом пространстве ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$, с диаметром ${\displaystyle \mathrm {diam} \,X\leqslant 2}$. Тогда существует ${\displaystyle d}$-мерный замкнутый шар ${\displaystyle B^{d}(r)}$ радиуса ${\displaystyle r={\sqrt {2d/(d+1)}}}$, такой что ${\displaystyle X\subset B^{d}(r)}$. Если множество ${\displaystyle X}$ не принадлежит никакому меньшему шару, то ${\displaystyle X}$ содержит вершины ${\displaystyle d}$-симплекса с длиной каждого ребра ${\displaystyle 2}$.[2]
• Теорема Киршбрауна

Вариации и обобщения

• Пусть ${\displaystyle H}$ — гильбертово пространство (не обязательно сепарабельное) и ${\displaystyle X_{\alpha }}$ — семейство замкнутых ограниченных выпуклых подмножеств ${\displaystyle H}$. Если пересечение произвольного конечного подсемейства ${\displaystyle X_{\alpha }}$ не пусто то ${\displaystyle \cap _{\alpha }X_{\alpha }}$ также непусто.

История

Теорема была доказана Эдуардом Хелли в 1913, о чём он рассказал Радону, опубликовал он её только в 1923[3], уже после публикаций Радона[4] и Кёнига[5].

См. также

• Нерв покрытия
• Теорема Каратеодори о выпуклой оболочке

Примечания

1. Шикин Е. В. Линейные пространства и отображения. - М., МГУ, 1987. - c. 177
2. Шикин Е. В. Линейные пространства и отображения. — М., МГУ, 1987. — с. 293
3. E. Helly Über Mengen konvexer Körper mit gemeinschaftlichen Punkten (недоступная ссылка), — Jber. Deutsch. Math. Vereinig. 32 (1923), 175—176.
4. J. Radon Mengen konvexer Körper, die einen gemeinsamen Punkt enthalten (недоступная ссылка), — Math. Ann. 83 (1921), 113—115.
5. D. König Über konvexe Körper, — Math. Z. 14 (1922), 208—220.

Литература

• Данцер Л., Грюнбаум Б., Кли В. Теорема Хелли и ее применения. — М.: Мир, 1968. — 159 с.