Нерв покрытия

Нерв покрытия — конструкция в топологии, дающая симплициальный комплекс по произвольному покрытию.

Понятие нерва покрытия было введёно Павлом Сергеевичем Александровым [1].

Определение

Пусть ${\displaystyle \{W_{\alpha }\}}$ — конечное покрытие топологического пространства ${\displaystyle X}$. Нерв покрытия ${\displaystyle \{W_{\alpha }\}}$ — это абстрактный симплициальный комплекс ${\displaystyle N}$, множество вершин которого отождествлено с множеством индексов покрытия, при этом ${\displaystyle N}$ содержит симплекс с вершинами ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}}$ тогда и только тогда, когда

${\displaystyle \bigcap _{i=1}^{n}W_{\alpha _{i}}\not =\varnothing }$.

Свойства

• (теорема о нерве) Пусть ${\displaystyle \{W_{\alpha }\}}$ — открытое покрытие паракомпактного пространства ${\displaystyle X}$. Предположим все непустые конечные пересечения элементов покрытия стягиваемы. Тогда нерв покрытия гомотопически эквивалентен ${\displaystyle X}$.[2]
  • В частности, отсюда следует теорема Хелли.

Вариации и обобщения

• Граф пересечений — 1-мерный остов нерва.

См. также

• Когомологии Александрова — Чеха

Литература

1. Paul Alexandroff Über den allgemeinen Dimensionsbegriff und seine Beziehungen zur elementaren geometrischen Anschauung, — Mathematische Annalen 98 (1928), стр. 617—635.
2. см. 4.G.3 в Хатчер А. Алгебраическая топология. — МЦНМО, 2011. — ISBN 978-5-94057-748-5.