Выпуклый анализ

3-мерный выпуклый многогранник. Выпуклый анализ включает не только изучение выпуклых подмножеств евклидовых пространств, но и изучение выпуклых функций на абстрактных пространствах.

Выпуклый анализ — это ветвь математики, посвящённая изучению свойств выпуклых функций и выпуклых множеств, часто имеющая приложения в выпуклом программировании, подобласти теории оптимизации.

Выпуклые множества

Основная статья: Выпуклое множество

Выпуклое множество является множеством ${\displaystyle C\subseteq X}$ для некоторого векторного пространства X, такое что для любых ${\displaystyle x,y\in C}$ и ${\displaystyle \lambda \in [0,1]}$[1]

${\displaystyle \lambda x+(1-\lambda )y\in C}$.

Выпуклая функция

Основная статья: Выпуклая функция

Выпуклая функция — любая расширенная вещественнозначная функция ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}}$, которая удовлетворяет неравенству Йенсена, то есть, для любых ${\displaystyle x,y\in X}$ и любой ${\displaystyle \lambda \in [0,1]}$

${\displaystyle f(\lambda x+(1-\lambda )y)\leqslant \lambda f(x)+(1-\lambda )f(y)}$[1].

Эквивалентно, выпуклой функцией является любая (расширенная) вещественнозначная функция, такая что её надграфик

${\displaystyle \left\{(x,r)\in X\times \mathbf {R} :f(x)\leqslant r\right\}}$

является выпуклым множеством[1].

Выпуклое сопряжение

Основная статья: Выпуклое сопряжение

Выпуклое сопряжение расширенной вещественнозначной (не обязательно выпуклой) функции ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}}$ — это функция ${\displaystyle f^{*}:X^{*}\to \mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}}$, где X* является двойственным пространством пространства X[2], такая что

${\displaystyle f^{*}(x^{*})=\sup _{x\in X}\left\{\langle x^{*},x\rangle -f(x)\right\}.}$

Двойное сопряжение

Двойное сопряжение функции ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}}$ — это сопряжение сопряжения, что обычно записывается как ${\displaystyle f^{**}:X\to \mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}}$. Двойное сопряжение полезно, когда нужно показать, что выполняется сильная или слабая двойственность (с помощью функции возмущений^[англ.]).

Для любого ${\displaystyle x\in X}$ неравенство ${\displaystyle f^{**}(x)\leqslant f(x)}$ вытекает из неравенства Фенхеля. Для собственной функции^[англ.] f = f** тогда и только тогда, когда f выпукла и полунепрерывна снизу по теореме Фенхеля — Моро[2][3].

Выпуклая минимизация

Основная статья: Выпуклое программирование

(Прямая) задача выпуклого программирования, это задача вида

${\displaystyle \inf _{x\in M}f(x)}$

такая что ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}}$ является выпуклой функцией, а ${\displaystyle M\subseteq X}$ является выпуклым множеством.

Двойственная задача

Основная статья: Двойственность (оптимизация)

Принцип двойственности в оптимизации утверждает, что задачи оптимизации можно рассматривать с двух точек зрения, как прямую задачу или двойственную задачу.

общем случае, если дана двойственная пара^[англ.][4] отделимых локально выпуклых пространств ${\displaystyle \left(X,X^{*}\right)}$ и функция ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}}$, мы можем определить прямую задачу как нахождение такого ${\displaystyle {\hat {x}}}$, что ${\displaystyle f({\hat {x}})=\inf _{x\in X}f(x).\,}$ Другими словами, ${\displaystyle f({\hat {x}})}$ — это инфимум (точная нижняя граница) функции ${\displaystyle f}$.

Если имеются ограничения, они могут быть встроены в функцию ${\displaystyle f}$, если положить ${\displaystyle {\tilde {f}}=f+I_{\mathrm {constraints} }}$, где ${\displaystyle I}$ — индикаторная функция^[англ.]. Пусть теперь ${\displaystyle F:X\times Y\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}}$ (для другой двойственной пары ${\displaystyle \left(Y,Y^{*}\right)}$) будет функцией возмущений^[англ.], такой что ${\displaystyle F(x,0)={\tilde {f}}(x)}$[5].

Двойственная задача для этой функции возмущения по отношению к выбранной задаче определяется как

${\displaystyle \sup _{y^{*}\in Y^{*}}-F^{*}(0,y^{*})}$

где F* является выпуклым сопряжением по обоим переменным функции F.

Разрыв двойственности — это разность правой и левой частей неравенства

${\displaystyle \sup _{y^{*}\in Y^{*}}-F^{*}(0,y^{*})\leqslant \inf _{x\in X}F(x,0),\,}$

где ${\displaystyle F^{*}}$ — выпуклое сопряжение от обоих переменных, а ${\displaystyle \sup }$ означает супремум (точную верхнюю границу)[6][7][5][6].

${\displaystyle \sup _{y^{*}\in Y^{*}}-F^{*}(0,y^{*})\leqslant \inf _{x\in X}F(x,0).}$

Этот принцип тот же самый, что и слабая двойственность. Если обе стороны равны, говорят, что задача удовлетворяет условиям сильной двойственности.

Существует много условий для сильной двойственности, такие как:

• F = F**, где F является функцией возмущений^[англ.] для прямой и двойственной задач, а F** является двойным сопряжением функции F;
• прямая задача является задачей линейного программирования;
• Условие Слейтера для задач выпуклого программирования[8][9].

Двойственность Лагранжа

Для выпуклой задачи минимизации с ограничениями-неравенствами

${\displaystyle \min _{x}f(x)}$ при условиях ${\displaystyle g_{i}(x)\leqslant 0}$ для i = 1, …, m.

двойственной задачей Лагранжа будет

${\displaystyle \sup _{u}\inf _{x}L(x,u)}$ при условиях ${\displaystyle u_{i}(x)\geqslant 0}$ для i = 1, …, m,

где целевая функция L(x, u) является двойственной функцией Лагранжа, определённой следующим образом:

${\displaystyle L(x,u)=f(x)+\sum _{j=1}^{m}u_{j}g_{j}(x)}$

Примечания

1. Rockafellar, 1997.
2. Zălinescu, 2002, с. 75–79.
3. Borwein, Lewis, 2006, с. 76–77.
4. Двойственная пара — это тройка ${\displaystyle \left(X,X^{*},\langle ,\rangle \right)}$, где ${\displaystyle X}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle F}$, ${\displaystyle X^{*}}$ — множество всех линейных отображений ${\displaystyle \phi \colon X\to F}$, а третий элемент — билинейная форма ${\displaystyle X^{*}\times X\to F\colon (\phi ,x)\mapsto \phi (x)}$.
5. Boţ, Wanka, Grad, 2009.
6. Csetnek, 2010.
7. Zălinescu, 2002, с. 106–113.
8. Borwein, Lewis, 2006.
9. Boyd, Vandenberghe, 2004.

Литература

• Осипенко К.Ю. Оптимизация. Ч. 1. Выпуклый анализ (консп. лекций). М.: МГУ. 57 с.
• Осипенко К.Ю. Выпуклый анализ (программа курса и консп. лекций). М.: МГУ. 68 с.
• Петров Н.Н. Выпуклый анализ (консп. лекций). Ижевск: УдмГУ, 2009. 160 с.
• Жадан В. Г. Методы оптимизации. Часть I. Введение в выпуклый анализ и теорию оптимизации: учеб. пос. для студ. вузов по направл. ... "Прикладные математика и физика". Москва : МФТИ, 2014. ISBN 978-5-7417-0514-8. (Ч. I). 271 с. Выпуск 300 шт.
• Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа : учебное пособие для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению "Прикладные математика и физика" и смежным направлениям и специальностям / Е. С. Половинкин, М. В. Балашов. - 2-е изд., испр. и доп. - Москва : Физматлит, 2007. - 438 с.; 22 см. - (Физтеховский учебник).; ISBN 978-5-9221-0896-6
• Протасов В.Ю. Выпуклый анализ (консп. лекций. Мехмат МГУ, экономич. поток, 2009 г.). М.: МГУ.
• Jonathan Borwein, Adrian Lewis. Convex Analysis and Nonlinear Optimization: Theory and Examples. — 2. — Springer, 2006. — ISBN 978-0-387-29570-1.
• Stephen Boyd, Lieven Vandenberghe. Convex Optimization. — Cambridge University Press, 2004. — ISBN 978-0-521-83378-3.
• R. Tyrrell Rockafellar. Convex Analysis. — Princeton, NJ: Princeton University Press, 1997. — ISBN 978-0-691-01586-6.
• Radu Ioan Boţ, Gert Wanka, Sorin-Mihai Grad. Duality in Vector Optimization. — Springer, 2009. — ISBN 978-3-642-02885-4.
• Constantin Zălinescu. Convex analysis in general vector spaces. — River Edge, NJ: World Scientific Publishing Co., Inc., 2002. — С. 106–113. — ISBN 981-238-067-1.
• Ernö Robert Csetnek. Overcoming the failure of the classical generalized interior-point regularity conditions in convex optimization. Applications of the duality theory to enlargements of maximal monotone operators. — Logos Verlag Berlin GmbH, 2010. — ISBN 978-3-8325-2503-3.
• Jonathan Borwein, Adrian Lewis. Convex Analysis and Nonlinear Optimization: Theory and Examples. — 2. — Springer, 2006. — ISBN 978-0-387-29570-1.
• Hiriart-Urruty J.-B., Lemaréchal C. Fundamentals of convex analysis. — Berlin: Springer-Verlag, 2001. — ISBN 978-3-540-42205-1.
• Ivan Singer. Abstract convex analysis. — New York: John Wiley & Sons, Inc., 1997. — С. xxii+491. — (Canadian Mathematical Society series of monographs and advanced texts). — ISBN 0-471-16015-6.
• Stoer J., Witzgall C. Convexity and optimization in finite dimensions. — Berlin: Springer, 1970. — Т. 1. — ISBN 978-0-387-04835-2.
• Kusraev A.G., Kutateladze S.S. Subdifferentials: Theory and Applications. — Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1995. — ISBN 978-94-011-0265-0.
• Кусраев А. Г., Кутателадзе С. С. Субдифференциалы. Теория и приложения. Ч. 2. — 2-е, перераб.. — Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 2003. — ISBN 5–86134–116–8.