Теорема Ферма — Эйлера

Теорема Ферма — Эйлера (другие названия — рождественская теорема Ферма, теорема о представлении простых чисел в виде суммы двух квадратов) гласит[1]:

Любое простое число ${\displaystyle p=4n+1}$, где ${\displaystyle n}$ — натуральное число, представимо в виде суммы квадратов двух натуральных чисел. Иначе говоря, ${\displaystyle p\in \mathbb {P} ,p=4n+1,n\in \mathbb {N} \Rightarrow p=x^{2}+y^{2},}$ где ${\displaystyle p}$ — простое число.

В иностранной литературе это утверждение часто называют рождественской теоремой Ферма, так как она стала известна из письма Пьера Ферма, посланного 25 декабря 1640 года.

Примеры:

${\displaystyle 5=1^{2}+2^{2}}$, ${\displaystyle 13=2^{2}+3^{2}}$, ${\displaystyle 17=1^{2}+4^{2}}$, ${\displaystyle 29=2^{2}+5^{2}}$, ${\displaystyle 37=1^{2}+6^{2}}$, ${\displaystyle 41=4^{2}+5^{2}}$.

Из этого утверждения при помощи тождества Брахмагупты выводится общее утверждение:

Натуральное число представимо в виде суммы двух квадратов (целых чисел) тогда и только тогда, когда ни одно простое число вида ${\displaystyle 4k+3}$ не входит в его разложение на простые множители в нечётной степени.

Иногда именно этот факт подразумевается под теоремой Ферма — Эйлера.

История

Впервые это утверждение обнаружено у Альбера Жирара в 1632 году. Пьер Ферма объявил в своём письме к Мерсенну (1640), что он доказал данную теорему, однако доказательство не привёл. Через 20 лет в письме к Каркави (от августа 1659 года) Ферма намекает, что доказательство основывается на методе бесконечного спуска.

Первое опубликованное доказательство методом бесконечного спуска было найдено Леонардом Эйлером между 1742 и 1747 годами. Позднее доказательства, основанные на иных идеях, дали Жозеф Лагранж, Карл Гаусс, Герман Минковский, Якобшталь и Дон Цагир. Последним приведено доказательство, состоящее из одного предложения[2].

Доказательства

Одно из самых коротких доказательств придумано немецким математиком Доном Цагиром[3]:

Инволюция конечного множества ${\displaystyle S=\{(x,y,z)\in \mathbb {N} ^{3}:x^{2}+4yz=p\}}$, определённая как

${\displaystyle (x,y,z)\rightarrow {\begin{cases}(x+2z,z,y-x-z),&x<y-z\\(2y-x,y,x-y+z),&y-z<x<2y\\(x-2y,x-y+z,y),&x>2y\end{cases}}}$

имеет ровно одну неподвижную точку (которая равна ${\displaystyle (1,1,k)}$, если ${\displaystyle p=4k+1}$, и единственность которой следует из простоты ${\displaystyle p}$), так что ${\displaystyle S}$ содержит нечётное количество элементов, а значит, инволюция ${\displaystyle (x,y,z)\rightarrow (x,z,y)}$ также имеет неподвижную точку.

Также существует доказательство через теорему Вильсона, придуманное Акселем Туэ[4].

Литература

• Бухштаб А. А. Теория чисел. — М.: Государственное учебно-педагогическое издательство Министерства просвещения РСФСР, 1960. — 375 с.
• Сендеров В., Спивак А. Суммы квадратов и целые гауссовы числа // Квант, № 3 (1999), стр. 14—22.
• Dickson L. E. History of the Theory of Numbers // Vol. II. — Ch. VI. Sum of two squares.

Примечания

1. Сендеров В., Спивак А. Суммы квадратов и целые гауссовы числа Архивная копия от 26 ноября 2019 на Wayback Machine // «Квант» Архивная копия от 11 февраля 2014 на Wayback Machine. — № 3 (1999), стр. 14—22.
2. A One-Sentence Proof That Every Prime 4k+1 Is a Sum of Two Squares
3. Краткое изложение доказательства Дона Цагира  (неопр.). Дата обращения: 13 мая 2011. Архивировано 4 марта 2016 года.
4. Две теоремы Ферма  (неопр.). Дата обращения: 17 февраля 2020. Архивировано 26 июня 2019 года.