Теорема Прохорова

Теорема Прохорова связывает равномерную плотность мер с относительной компактностью (и, следовательно, слабой сходимостью) в пространстве вероятностных мер. Названа в честь Юрия Васильевича Прохорова, который рассматривал вероятностные меры на полных сепарабельных метрических пространствах. Термин теорема Прохорова также применим к вариациям и обобщениям этой теоремы.

Формулировка

Пусть ${\displaystyle S}$ — сепарабельное метрическое пространство. Обозначим через ${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$ пространство всех вероятностных мер, определенных на борелевской сигма-алгебре ${\displaystyle S}$. Тогда

1. Множество ${\displaystyle K\subset {\mathcal {P}}(S)}$ вероятностных мер равномерно плотно тогда и только тогда, когда замыкание ${\displaystyle K}$ секвенциально компактно в пространстве, ${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$ оснащенном топологией слабой сходимости.
2. Пространство ${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$ с топологией слабой сходимости метризуемо.
3. Предположим дополнительно, что ${\displaystyle (S,\rho )}$ полное (иначе говоря, ${\displaystyle S}$ — польское пространство). Тогда существует полная метрика ${\displaystyle d}$ на ${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$, задающая топологию слабой сходимости. Более того, подмножество ${\displaystyle K\subset S}$ равномерно плотно тогда и только тогда, когда замыкание ${\displaystyle K}$ в ${\displaystyle ({\mathcal {P}}(S),d)}$ компактно.