Равномерная плотность

Равномерная плотность — свойство семейства мер; формализует то, что семейство не убегает на бесконечность.

Определение

Пусть ${\displaystyle (X,T)}$ — Хаусдорфово пространство, и пусть ${\displaystyle \Sigma }$ — сигма-алгебра на ${\displaystyle X}$, включающая открытые (а значит и борелевские) множества. Пусть ${\displaystyle M}$ — семейство мер, определенных на ${\displaystyle \Sigma }$. Семейство ${\displaystyle M}$ называется равномерно плотным, если для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ существует компактное подмножество ${\displaystyle K_{\varepsilon }}$ в ${\displaystyle X}$, такое, что для всех мер ${\displaystyle \mu \in M}$ выполняется неравенство

${\displaystyle |\mu |(X\setminus K_{\varepsilon })<\varepsilon ,}$

здесь ${\displaystyle |\mu |}$ — это вариация меры ${\displaystyle \mu }$.

Замечания

• Часто предполагается, что меры вероятностные; в этом случае ключевое неравенство можно переписать как

  ${\displaystyle \mu (K_{\varepsilon })>1-\varepsilon .}$

• Если равномерно плотное семейство ${\displaystyle M}$ состоит из одной меры ${\displaystyle \mu }$, то сама мера ${\displaystyle \mu }$ называется плотной.
• Если ${\displaystyle Y}$ — это ${\displaystyle X}$-значная случайная величина, у которой распределение является плотной мерой на ${\displaystyle X}$, то говорят, что ${\displaystyle Y}$ радонова случайная величина.

Примеры

• Любое семейство мер на компактном метризуемом пространстве равномерно плотна.
  • Это не обязательно верно для неметризуемых пространств.
• Если ${\displaystyle X}$ — польское пространство, то любая вероятностная мера плотна.
  • Согласно теореме Прохорова, семейство вероятностых мер на ${\displaystyle X}$ равномерно плотно, тогда и только тогда, когда это оно предкомпактно в топологии слабой сходимости.

Литература

• Ширяев А. Н. Вероятность. М.: Наука, 1980. 576 с.