Слабая сходимость

Слабая сходимость в функциональном анализе — вид сходимости в топологических векторных пространствах.

Определение

Пусть ${\displaystyle K}$ — топологическое поле, ${\displaystyle X}$ — топологическое векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle X^{*}}$— сопряжённое пространство, состоящее из всех непрерывных линейных функционалов на ${\displaystyle X}$. Тогда слабой топологией пространства ${\displaystyle X}$ называется самая слабая из топологий, в которой непрерывны все линейные функционалы, непрерывные в исходной топологии этого пространства.

Предбазу слабой топологии образуют множества

${\displaystyle V_{x,f,\varepsilon }=\{\,y\in X:|f(y)-f(x)|<\varepsilon \,\}}$

для всех ${\displaystyle x\in X}$, ${\displaystyle f\in X^{*}}$, и ${\displaystyle \varepsilon >0}$.

Иначе говоря, последовательность элементов ${\displaystyle x_{n}\in X}$ слабо сходится к элементу ${\displaystyle x_{\infty }\in X}$, если для любого непрерывного линейного функционала ${\displaystyle f\in X^{*}}$ последовательность чисел ${\displaystyle \{f(x_{n})\}}$ сходится к ${\displaystyle f(x_{\infty })}$.

Слабой* топологией в ${\displaystyle X^{*}}$ называют топологию, предбазу которой образуют множества

${\displaystyle V_{f,x,\varepsilon }^{*}=\{\,g\in X^{*}:|g(x)-f(x)|<\varepsilon \,\}}$

для всех ${\displaystyle x\in X}$, ${\displaystyle f\in X^{*}}$, и ${\displaystyle \varepsilon >0}$.

Иначе говоря, последовательность функций ${\displaystyle f_{n}\in X^{*}}$ слабо* сходится к функции ${\displaystyle f_{\infty }\in X^{*}}$, если для любого ${\displaystyle x\in X}$, последовательность чисел ${\displaystyle f_{n}(x)}$ сходится к ${\displaystyle f_{\infty }(x)}$.

Замечания

Сходимость в пространстве ${\displaystyle X}$, определяемая его исходной топологией, называется сильной.

Свойства

• Если последовательность сходится к некоторому элементу сильно, то она сходится к этому элементу и слабо.
• В конечномерном евклидовом пространстве понятия сильной и слабой сходимости совпадают.
• В случае, когда ${\displaystyle X}$ — нормированное векторное пространство, имеют место следующие утверждения. Слабо сходящаяся последовательность элементов ${\displaystyle \{x_{n}\}\subset X}$ является ограниченной, то есть ${\displaystyle \|x_{n}\|\leq C}$ для некоторого положительного числа ${\displaystyle C}$. Последовательность элементов ${\displaystyle \{x_{n}\}\subset X}$ слабо сходится к элементу ${\displaystyle x_{0}\in X}$, если она является ограниченной и ${\displaystyle \{f(x_{n})\}}$ сходится к ${\displaystyle f(x_{0})}$ для каждого непрерывного линейного функционала из некоторого подмножества пространства ${\displaystyle X^{*}}$, линейная оболочка которого всюду плотна в ${\displaystyle X^{*}}$.
• Теорема Банаха — Алаоглу — Бурбаки. Замкнутый единичный шар пространства ${\displaystyle X^{*}}$ компактен в слабой* топологии пространства ${\displaystyle X^{*}}$.
• Теорема Эберлейна — Шмульяна. Подмножество ${\displaystyle A}$ банахова пространства ${\displaystyle X}$ слабо компактно тогда и только тогда, когда оно слабо секвенциально компактно.

Пример

Пусть ${\displaystyle X=C[a,b]}$ — пространство непрерывных функций на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$ с нормой, определенной равномерной сходимостью (сильная сходимость). Последовательность функций ${\displaystyle \{x_{n}(\cdot )\}}$ слабо сходится к функции ${\displaystyle x_{0}(\cdot )}$ тогда и только тогда, когда выполняются два условия: 1) она является равномерно ограниченной, то есть ${\displaystyle |x_{n}(t)|\leq C}$ при всех ${\displaystyle t\in [a,b]}$ для некоторого положительного числа ${\displaystyle C}$, и 2) ${\displaystyle \{x_{n}(\cdot )\}}$ сходится к ${\displaystyle x_{0}(\cdot )}$ поточечно, то есть числовая последовательность ${\displaystyle \{x_{n}(t)\}}$ сходится к ${\displaystyle x_{0}(t)}$ для любого ${\displaystyle t\in [a,b]}$.

Литература

• Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа, — М.: Наука, 1965.
• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, — Любое издание.
• Рудин У. Функциональный анализ, — М.: Мир, 1975.