Теорема Крейна — Мильмана

Теорема Крейна — Мильмана — важный факт из выпуклого анализа в линейных топологических пространствах. Доказана Марком Крейном и Давидом Мильманом в 1940 году[1].

Формулировка

Выпуклый компакт ${\displaystyle K}$ в локально выпуклом пространстве ${\displaystyle L}$ совпадает с замыканием выпуклой оболочки множества своих крайних точек ${\displaystyle E(K)}$.

Замечания

• Для бесконечномерных пространств данная теорема, как и многие другие результаты, не может быть доказана без применения аксиомы выбора или эквивалентных ей утверждений теории множеств.

• Существуют топологические векторные пространства, содержащие выпуклые компакты без крайник точек[2].

• Утверждение аналогичное теореме Крейна — Мильмана не выполняется в пространствах Адамара со слабой топологией.[3]

Приложения

• Теорема применяется для доказательств неизоморфности различных банаховых пространств.
• Применена де Бранжем в изящном варианте доказательства теоремы Стоуна — Вейерштрасса.

Примечания

1. M. Krein, D. Milman, On extreme points of regular convex sets, Studia Mathematica 9 (1940), 133—138.
2. Roberts, James W. «A compact convex set with no extreme points.» Studia Mathematica 60.3 (1977): 255—266.
3. Monod, Nicolas. "Extreme points in non-positive curvature". arXiv:1602.06752. {{cite arXiv}}: Шаблон цитирования имеет пустые неизвестные параметры: |version= and |accessdate= (справка)

Литература

• Кириллов А. А., Гвишиани А. Д.  Теоремы и задачи функционального анализа. — 1988.