Теорема Гёделя о полноте

Теоре́ма Гёделя о полноте́ исчисле́ния предика́тов является одной из фундаментальных теорем математической логики: она устанавливает однозначную связь между логической истинностью высказывания и его выводимостью в логике первого порядка. Впервые эта теорема была доказана Куртом Гёделем в 1929.

Формула является выводимой в исчислении предикатов первого порядка тогда и только тогда, когда она общезначима (истинна в любой интерпретации при любой подстановке).

Иными словами, если ${\displaystyle \Phi }$ — тождественно истинная формула исчисления предикатов, то ${\displaystyle \Phi }$ доказуема в исчислении предикатов.[1]

Доказательство

Из тождественной истинности ${\displaystyle \Phi }$ получаем, что множество ${\displaystyle \{\neg \Phi \}}$ не имеет модели. Из теоремы о существовании модели следует, что ${\displaystyle \{\neg \Phi \}}$ противоречиво, то есть ${\displaystyle \neg \Phi \vdash }$ - теорема исчисления предикатов. По правилу вывода ${\displaystyle {\frac {\Gamma ,\neg \Phi \vdash }{\Gamma \vdash \Phi }}}$ получаем, что ${\displaystyle \Phi }$ доказуема.[1]

См. также

• Теоремы Гёделя о неполноте
• Теорема о существовании модели

Примечания

1. Ершов, 1987, с. 139.

Литература

• Ершов Ю.Л., Палютин Е.А. Математическая логика. — М.: Наука, 1987. — 336 с.