Тензор Коттона

В дифференциальной геометрии тензор Коттона на (псевдо)-римановом многообразии размерности n задаётся как тензор 3-го ранга, определяемый с помощью метрики.

Назван в честь Эмиля Коттона.

Определение

Тензор Коттона можно записать в координатах следующим образом

${\displaystyle C_{ijk}=\nabla _{k}R_{ij}-\nabla _{j}R_{ik}+{\tfrac {1}{2(n-1)}}\cdot \left(\nabla _{j}Rg_{ik}-\nabla _{k}Rg_{ij}\right),}$

где ${\displaystyle R_{ij}}$ — тензор Риччи и ${\displaystyle R}$ — скалярная кривизна

Про Тензор Коттона можно думать как про векторно-значную 2-форму.

Свойства

• Равенство нулю тензора Коттона для размерности ${\displaystyle n=3}$ является необходимым и достаточным условием того, что многообразие является конформно евклидовым.
  • В размерностях ${\displaystyle n\geq 4}$ аналогичным свойством обладает тензору Вейля.

Литература

• Cotton, É. Sur les variétés à trois dimensions // Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse. — 1899. Архивировано 10 октября 2007 года.
• A. Garcia, F.W. Hehl, C. Heinicke, A. Macias. The Cotton tensor in Riemannian spacetimes // Classical and Quantum Gravity. — 2004. — № 21. — С. 1099—1118. — arXiv:gr-qc/0309008.