Структура (дифференциальная геометрия)

В дифференциальной геометрии структурой на многообразии, геометрической величиной или полем геометрических объектов называется сечение расслоения, ассоциированного с главным расслоением кореперов некоторого многообразия ${\displaystyle M}$. Интуитивно геометрическую величину можно рассматривать как величину, значение которой зависит не только от точки ${\displaystyle x}$ многообразия ${\displaystyle M}$, но и от выбора корепера, то есть от выбора инфинитезимальной системы координат в точке ${\displaystyle x}$ (см. также Карта).

Формальное определение структуры на многообразии

Для формального определения структур на многообразии рассмотрим ${\displaystyle GL^{k}(n)}$ — общую дифференциальную группу порядка ${\displaystyle k}$ (группу ${\displaystyle k}$-струй в нуле преобразований пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, сохраняющих начало координат), ${\displaystyle M_{k}}$ — многообразие кореперов порядка ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$-мерного многообразия ${\displaystyle M}$ (то есть многообразие ${\displaystyle k}$-струй ${\displaystyle j_{x}^{k}(u)}$ локальных карт ${\displaystyle u:M\supset U\to \mathbb {R} ^{n}}$ с началом в точке ${\displaystyle x=u^{-1}(0)}$).

Группа ${\displaystyle GL^{k}(n)}$ действует слева на многообразии ${\displaystyle M_{k}}$ по формуле

${\displaystyle j_{0}^{k}(\varphi )j_{0}^{k}(u)=j_{x}^{k}(\varphi \circ u),\quad j_{0}^{k}(\varphi )\in GL^{k}(n),\quad j_{x}^{k}(u)\in M_{k}.}$

Это действие определяет в ${\displaystyle M_{k}}$ структуру главного ${\displaystyle GL^{k}(n)}$-расслоения ${\displaystyle \pi _{k}:M_{k}\to M}$, называемого расслоением кореперов порядка ${\displaystyle k}$.

Пусть теперь ${\displaystyle W}$ — произвольное ${\displaystyle GL^{k}(n)}$-многообразие, то есть многообразие с левым действием группы ${\displaystyle GL^{k}(n)}$, a ${\displaystyle W(M)}$ — пространство орбит левого действия группы ${\displaystyle GL^{k}(n)}$ в ${\displaystyle M_{k}\times W}$. Расслоение ${\displaystyle \pi _{W}:W(M)\to M}$, являющееся естественной проекцией пространства орбит на ${\displaystyle M}$ и ассоциированное как с ${\displaystyle W}$, так и с ${\displaystyle M_{k}}$, называется расслоением геометрических структур типа ${\displaystyle W}$ порядка не больше ${\displaystyle k}$, а его сечения — структурами типа ${\displaystyle W}$. Структуры такого типа находятся в естественном взаимно однозначном соответствии с ${\displaystyle GL^{k}(n)}$-зквивариантными отображениями ${\displaystyle S:M_{k}\to W}$.

Таким образом, структуры типа ${\displaystyle W}$ можно рассматривать как ${\displaystyle W}$-значную функцию ${\displaystyle S}$ на многообразии ${\displaystyle M_{k}}$ ${\displaystyle k}$-реперов, удовлетворяющую следующему условию эквивариантности:

${\displaystyle S(gu^{k})=gS(u^{k}),\quad g\in GL^{k}(n),\quad u^{k}\in M_{k}.}$

Расслоение геометрических объектов является естественным расслоением в том смысле, что группа диффеоморфизмов многообразия ${\displaystyle M}$ действует как группа автоморфизмов ${\displaystyle \pi _{W}}$.

Если ${\displaystyle W}$ есть векторное пространство с линейным (соответственно аффинным) действием группы ${\displaystyle GL^{k}(n)}$, то структуры типа ${\displaystyle W}$ называются линейными (соответственно аффинными).

Основными примерами линейных структур первого порядка являются тензорные структуры, или тензорные поля. Пусть ${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{n}}$, ${\displaystyle V^{*}=\mathrm {Hom} \,(V,\;\mathbb {R} )}$ и ${\displaystyle V_{g}^{p}=((\otimes ^{p}V))\otimes ((\otimes ^{q}V^{*}))}$ — пространство тензоров типа ${\displaystyle (p,\;q)}$ с естественным тензорным представлением группы ${\displaystyle GL^{1}(n)=GL(n)}$. Структура типа ${\displaystyle V_{q}^{p}}$ называется тензорным полем типа ${\displaystyle (p,\;q)}$. Её можно рассматривать как вектор-функцию на многообразии кореперов ${\displaystyle M_{1}}$, сопоставляющую кореперу ${\displaystyle \theta =j_{1}^{1}(u)=(du^{1},\;du^{2},\;\ldots ,\;du^{n})}$ набор координат ${\displaystyle S(\theta )_{j_{1}j_{2}\ldots j_{q}}^{i_{1}i_{2}\ldots i_{p}}}$ тензора ${\displaystyle S(\theta )\in V_{q}^{p}}$ относительно стандартного базиса

${\displaystyle \{e_{i_{1}}\otimes e_{i_{2}}\otimes \ldots \otimes e_{i_{p}}\otimes e^{*j_{1}}\otimes e^{*j_{2}}\otimes \ldots \otimes e^{*j_{q}}\}}$

пространства ${\displaystyle V_{q}^{p}}$. При линейном преобразовании коронера ${\displaystyle \theta \to g\theta =(g_{a}^{i}\,du^{a})}$ координаты ${\displaystyle S_{j_{1}j_{2}\ldots j_{p}}^{i_{1}i_{2}\ldots i_{p}}}$ преобразуются по тензорному представлению:

${\displaystyle S_{j_{1}j_{2}\ldots j_{q}}^{i_{1}i_{2}\ldots i_{p}}(q\theta )=g_{a_{1}}^{i_{1}}g_{a_{2}}^{i_{2}}\ldots g_{a_{p}}^{i_{p}}(g^{-1})_{j_{1}}^{b_{1}}(g^{-1})_{j_{2}}^{b_{2}}\ldots (g^{-1})_{j_{q}}^{b_{q}}S(\theta )_{b_{1}b_{2}\ldots b_{q}}^{a_{1}a_{2}\ldots a_{p}}.}$

Важнейшими примерами тензорных структур являются:

• векторное поле;
• дифференциальная форма;
• метрический тензор;
• симплектическая структура;
• комплексная структура.

Все линейные структуры (любых порядков) исчерпываются сверхтензорами Рашевского[1].

Примером аффинной структуры второго порядка служит аффинная связность без кручения, которую можно рассматривать как структуру типа ${\displaystyle V_{(2)}^{1}}$, где ${\displaystyle V_{(2)}^{1}\approx V\otimes S^{2}V^{*}}$ — ядро естественного гомоморфизма ${\displaystyle GL^{2}(n)\to GL^{1}(n)}$, которое можно рассматривать как векторное пространство с естественным действием группы ${\displaystyle GL^{2}(n)=GL(n)V_{(2)}^{1}}$.

Другим важным и добольно широким классом структур является класс инфинитезимально однородных структур, или ${\displaystyle G}$-структур. Их можно определить как структуры типа ${\displaystyle W}$, где ${\displaystyle W=GL^{k}(n)/G}$ — однородное пространство группы ${\displaystyle GL^{k}(n)}$.

Для дальнейшего обобщения можно рассмотреть общие ${\displaystyle G}$-структуры — главные расслоения, гомоморфно отображающиеся на ${\displaystyle G}$-структуру, и сечения ассоциированных с ними расслоений. В этом случае можно рассматривать ряд важных общих геометрических структур, такие как спинорные структуры, симплектические спинорные структуры и др.

Литература

1. Бурбаки, Н. Теория множеств / Пер. с франц. — М.: Мир, 1965. — 457 с.
2. Веблен, О., Уайтхед, Дж. Основания дифференциальной геометрии. — М.: ИИЛ, 1949. — 230 с.
3. Стернберг, С. Лекции по дифференциальной геометрии. — М.: Мир, 1970. — 413 с.
4. Васильев, А. М. Теория дифференциально-геометрических структур. — М.: МГУ, 1987. — 190 с.
5. Лаптев Г. Ф. Основные инфинитезимальные структуры высших порядков на гладком многообразии // Труды геометрического семининара. — т. 1. — М.: ВИНИТИ, 1966, с. 139—189.

См. также

• ${\displaystyle G}$-структура
• ${\displaystyle (B,\;\varphi )}$-структура
• ${\displaystyle C^{k}}$-структура
• ${\displaystyle pl}$-структура
• ${\displaystyle \Gamma }$-структура
• Контактная структура
• Почти комплексная структура
• Алгебраическая структура
• Топологическая структура
• Структура Ходжа
• Математическая структура

Примечания

1. Рашевский П. К. Труды Московского математического общества. — 1957. — т. 6. — с. 337—370.