Система уравнений

Систе́ма уравне́ний — условие, состоящее в одновременном выполнении нескольких уравнений относительно нескольких (или одной) переменных.

Обозначения

Формальная запись общего вида может выглядеть так:

${\displaystyle {\begin{cases}F_{1}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{M})=0\\F_{2}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{M})=0\\\ldots \\F_{N}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{M})=0\\\end{cases}}}$

Фигурная скобка означает, что решение ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{M})}$ должно удовлетворять каждому уравнению.

Решением системы уравнений называется упорядоченный набор чисел (значений переменных), при подстановке которых вместо переменных каждое из уравнений обращается в верное равенство.

Типы систем уравнений

• Алгебраические уравнения:
  • Система линейных алгебраических уравнений.
  • Система нелинейных уравнений.
• Дифференциальные уравнения:
  • Система дифференциальных уравнений (линейные/нелинейные, обыкновенные/в частных производных).

Методы решения

Существует множество методов решения системы уравнений. Подход зависит от типа системы.

Так, решение систем линейных уравнений полностью исследовано: у них найдены аналитические методы (метод Крамера) и предложено несколько численных — как точных (простейший — метод Гаусса), так и приближённых (метод итераций).

Общего аналитического решения системы нелинейных уравнений не найдено.

Существуют лишь численные методы.

Для решения систем дифференциальных уравнений разработана целая отрасль численных методов.

Разные факты

• Любая система уравнений над действительными числами может быть представлена одним равносильным уравнением, если взять все уравнения в форме ${\displaystyle f_{i}(x)=0}$, возвести их в квадрат и сложить.
• Обыкновенное дифференциальное уравнение любого порядка можно записать как систему дифференциальных уравнений первого порядка.