Риск-нейтральная мера

Риск-нейтральная мера (скорректированная на риск мера, эквивалентная мартингальная мера) — применяемая в стохастической финансовой теории (математике) искусственная вероятностная мера (эквивалентная физической вероятностной мере) относительно которой будущая стоимость актива в единицах банковского счета — отношение стоимости рисковых активов к стоимости банковского счета (счета денежного рынка) — является мартингалом (или хотя бы локальным мартингалом) на безарбитражном рынке [1].

Существование такой меры на безарбитражном рынке гарантируется первой фундаментальной теоремой теории арбитражного ценообразования (APT), а её единственность в случае полных рынков — второй теоремой APT.

Свойство мартингальности позволяет выразить текущую стоимость будущих денежных потоков через условное математическое ожидание (в риск-нейтральной мере) их дисконтированной величины.

Риск-нейтральную меру чаще всего обозначают ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ в отличие от физической вероятностной меры ${\displaystyle \mathbb {P} }$

Формула оценки в риск-нейтральной мере

Пусть в момент T величина платежа равна ${\displaystyle V_{T}}$. Мартингальное свойство риск-нейтральной меры означает по определению что

${\displaystyle {V_{t} \over B_{t}}=\mathbb {E} _{t}^{\mathbb {Q} }{\Bigl (}{V_{T} \over B_{T}}{\Bigr )}}$

где ${\displaystyle B_{t}=B_{0}e^{\int _{0}^{t}r_{u}du}}$ - так процесс так называемого банковского счета, являющегося локально предсказуемым процессом роста по безрисковой ставке ${\displaystyle r_{t}}$ (процентная ставка случайна в общем случае).

Отсюда стоимость актива в данный момент времени

${\displaystyle V_{t}=B_{t}\mathbb {E} _{t}^{\mathbb {Q} }{\Bigl (}{V_{T} \over B_{T}}{\Bigr )}=\mathbb {E} _{t}^{\mathbb {Q} }{\Bigl (}{B_{t} \over B_{T}}V_{T}{\Bigr )}=\mathbb {E} _{t}^{\mathbb {Q} }{\Bigl (}D(t,T)V_{T}{\Bigr )}}$

где ${\displaystyle D(t,T)=B_{t}/B_{T}=e^{-\int _{t}^{T}r_{u}du}}$ - дисконтирующий процесс.

Связанные понятия

• Бескупонная (дисконтная) облигация - безрисковая облигация с единичным номиналом и сроком погашения T. Стоимость такой облигации согласно общей формуле оценки в риск-нейтральной мере равна

${\displaystyle P(t,T)=\mathbb {E} _{t}^{\mathbb {Q} }[D(t,T)]=\mathbb {E} _{t}^{\mathbb {Q} }[e^{-\int _{t}^{T}r_{u}du}]}$

Стоимость такой облигации представляет собой так называемый дисконт-фактор (множитель дисконтирования), если перейти от риск-нейтральной меры к так называемой T-форвардной мере:

${\displaystyle V_{t}=P(t,T)\mathbb {E} _{t}^{\mathbb {Q} ^{T}}[V_{T}]}$

• Фьючерсные цены и фьючерсные ставки являются мартингалами в риск-нейтральной мере.
• Спот-мера - дискретный аналог "непрерывной" риск-нейтральной меры

Примечания

1. Björk, Tomas. Arbitrage theory in Continuous Time : [англ.]. — New York : Oxford University Press, 2004. — ISBN 978-0-19-927126-9.