Реактивное сопротивление

В электрических и электронных системах реактивное сопротивление (также реактанс) — это сопротивление элемента схемы, вызванное изменением тока или напряжения из-за индуктивности или ёмкости этого элемента. Понятие реактивного сопротивления аналогично электрическому сопротивлению, но оно несколько отличается в деталях.

В векторном анализе реактивное сопротивление используется для вычисления амплитудных и фазовых изменений синусоидального переменного тока, проходящего через элемент цепи. Обозначается символом ${\displaystyle X}$. Идеальный резистор имеет нулевое реактивное сопротивление, тогда как идеальные катушки индуктивности и конденсаторы имеют, соответственно нулевое и бесконечно большое сопротивление — то есть, реагируют на ток только по наличию реактивного сопротивления. Величина реактивного сопротивления катушки индуктивности увеличивается пропорционально увеличению частоты, в то время как величина реактивного сопротивления конденсатора уменьшается пропорционально увеличению частоты.

Ёмкостное сопротивление

Конденсатор состоит из двух проводников, разделённых изолятором, также известным как диэлектрик.

Ёмкостное сопротивление — это сопротивление изменению напряжения на элементе. Ёмкостное сопротивление ${\displaystyle X_{C}}$ обратно пропорционально произведению частоты сигнала ${\displaystyle f}$ (или угловой частоте ${\displaystyle \omega }$) и ёмкости ${\displaystyle C}$[1].

В литературе существует два варианта определения реактивного сопротивления для конденсатора. Одним из них является использование единого понятия реактивного сопротивления в качестве мнимой части полного сопротивления, и, в этом случае, реактивное сопротивление конденсатора является отрицательным числом[1][2][3]:

${\displaystyle X_{C}=-{\frac {1}{\omega C}}=-{\frac {1}{2\pi fC}}}$.

Другой выбор состоит в том, чтобы определить ёмкостное сопротивление как положительное число[4][5][6],

${\displaystyle X_{C}={\frac {1}{\omega C}}={\frac {1}{2\pi fC}}}$.

В этом случае нужно помнить о добавлении отрицательного знака к импедансу то есть ${\displaystyle Z_{c}=-jX_{c}}$.

На низких частотах конденсатор эквивалентен разомкнутой цепи, если в диэлектрике ток не течёт.

Постоянное напряжение, приложенное к конденсатору, вызывает накопление положительного заряда на одной обкладке и накопление отрицательного заряда на другой обкладке; электрическое поле за счёт накопленного заряда является источником, который противодействует току. Когда потенциал, связанный с зарядом, точно уравновешивает приложенное напряжение, ток падает до нуля.

Приводимый в действие источником переменного тока (идеальный источник переменного тока), конденсатор будет накапливать только ограниченное количество заряда, прежде чем разность потенциалов изменит полярность и заряд вернётся к источнику. Чем выше частота, тем меньше накапливается заряд и тем меньше противодействие току.

Индуктивное сопротивление

Индуктивное реактивное сопротивление — это свойство, проявляемое индуктивностью, и индуктивное реактивное сопротивление существует благодаря тому, что электрический ток создаёт вокруг него магнитное поле. В контексте цепи переменного тока (хотя эта концепция применяется при любом изменении тока), это магнитное поле постоянно изменяется в результате изменения тока, который меняется во времени. Именно это изменение магнитного поля создаёт электрический ток в том же проводе, в направлении, противоположном току, создающему это переменное магнитное поле. Это явление известно как закон Ленца. Следовательно, индуктивное сопротивление  характеризует противодействие изменению тока через индуктивность.

Для идеальной катушки индуктивности в цепи переменного тока сдерживающее влияние на изменение протекания тока приводит к задержке или сдвигу фаз переменного тока относительно переменного напряжения. В частности, идеальная индуктивность (без сопротивления) вызовет отставание тока от напряжения на четверть цикла или на 90°.

В электроэнергетических системах индуктивное реактивное сопротивление (и ёмкостное реактивное сопротивление, однако индуктивное реактивное сопротивление более распространено) может ограничивать пропускную способность линии электропередач переменного тока, поскольку мощность не передаётся полностью, когда напряжение и ток находятся в противофазе (подробно описано выше). То есть ток будет течь для противофазной системы, однако реальная мощность в определённые моменты времени не будет передаваться, потому что будут моменты, в течение которых мгновенный ток будет положительным, а мгновенное напряжение отрицательным, или наоборот, подразумевая отрицательную мощность передачи. Следовательно, реальная работа не выполняется, когда передача энергии является «отрицательной». Однако ток всё ещё течёт, даже когда система находится в противофазе, что приводит к нагреву линий электропередачи из-за протекания тока. Следовательно, линии электропередачи могут только сильно нагреваться (иначе они физически сильно прогибаются из-за тепла, расширяющего металлические линии электропередачи), поэтому операторы линий электропередачи имеют «потолок» в отношении величины тока, который может протекать через данную линию, и чрезмерное индуктивное сопротивление ограничивает мощность линии. Поставщики электроэнергии используют конденсаторы для сдвига фазы и минимизации потерь в зависимости от схемы использования.

Индуктивное реактивное сопротивление ${\displaystyle \scriptstyle {X_{L}}}$ пропорционально частоте синусоидального сигнала ${\displaystyle f}$ и индуктивности ${\displaystyle L}$, которая зависит от геометрических размеров и формы индуктивности.

${\displaystyle X_{L}=\omega L=2\pi fL}$

Средний ток, протекающий через индуктивность ${\displaystyle \scriptstyle {L}}$ в цепи с источником синусоидального переменного тока со среднеквадратичной амплитудой напряжения${\displaystyle A}$ и частотой ${\displaystyle f}$ равен:

${\displaystyle I_{L}={A \over \omega L}={A \over 2\pi fL}}$.

Поскольку меандр (источник прямоугольного сигнала) можно представить в виде синусоидальных гармоник

(согласно теореме Фурье), средний ток, протекающий через индуктивность ${\displaystyle L}$, включенную последовательно с источником переменного прямоугольного сигнала среднеквадратичной амплитуды ${\displaystyle A}$ и частоты ${\displaystyle f}$, равен:

${\displaystyle I_{L}={A\pi ^{2} \over 8\omega L}={A\pi \over 16fL}}$

создавая иллюзию как если бы реактивное сопротивление прямоугольной волны на 19 % меньше ${\displaystyle X_{L}={16 \over \pi }fL}$ , чем реактивное сопротивление синусоидального сигнала с той же частотой:

Любой проводник конечных размеров имеет индуктивность; индуктивность обычно делается из электромагнитных катушек, состоящих из множества витков провода. Согласно закону электромагнитной индукции Фарадея возникает ЭДС ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ в цепи, которая равна скорости изменения магнитного потока через контур.

${\displaystyle {\mathcal {E}}=-{{d\Phi _{B}} \over dt}}$

А для индуктивности состоящей из ${\displaystyle \scriptstyle N}$ витков соответственно

${\displaystyle {\mathcal {E}}=-N{d\Phi _{B} \over dt}}$

Эта ЭДС стремиться компенсировать изменение тока в цепи. Постоянный ток имеет нулевую скорость изменения и рассматривает катушку индуктивности как обычный проводник (так как она обычно сделана из материала с низким удельным сопротивлением). При протекании переменного тока через катушку возникает индуктивное сопротивление, растущее пропорционально частоте переменного тока.

Полное сопротивление

Как реактивное сопротивление ${\displaystyle \scriptstyle {X}}$ так и обычное сопротивление ${\displaystyle R}$ компоненты импеданса ${\displaystyle Z}$.

${\displaystyle Z=R+jX}$

где:

• ${\displaystyle Z}$ — импеданс, измеряемый в омах;
• ${\displaystyle R}$ — сопротивление, измеряемое в омах. Это также действительная часть импеданса: ${\displaystyle {R=\Re {(Z)}}}$
• ${\displaystyle X}$ — реактанс, измеряемый в омах. Это также мнимая часть импеданса: ${\displaystyle {X=\Im {(Z)}}}$
• ${\displaystyle j}$ — мнимая единица, чтобы отличать от тока, который обозначается обычно ${\displaystyle i}$.

Когда и конденсатор и катушка индуктивности соединены последовательно в цепь, их вклады к полному импедансу цепи противоположны. Ёмкостное сопротивление ${\displaystyle X_{C}}$, и индуктивное сопротивление ${\displaystyle X_{L}}$,

вносят свой вклад в общее реактивное сопротивление ${\displaystyle \scriptstyle {X}}$ в виде суммы

${\displaystyle {X=X_{L}+X_{C}=\omega L-{\frac {1}{\omega C}}}}$

где:

• ${\displaystyle \scriptstyle {X_{L}}}$ — индуктивное сопротивление, измеряемое в омах;
• ${\displaystyle \scriptstyle {X_{C}}}$ — ёмкостное сопротивление, измеряемое в омах;
• ${\displaystyle \omega }$ — угловая частота, ${\displaystyle 2\pi }$ умноженная на частоту в Гц.

Отсюда:[3]

• если ${\displaystyle X>0}$, то реактанс имеет вид индуктивности;
• если ${\displaystyle X=0}$, импеданс имеет только действительную часть;
• если ${\displaystyle X<0}$, то реактанс имеет вид ёмкости.

Замечание, в случае определения ${\displaystyle X_{L}}$ и ${\displaystyle X_{C}}$ как положительных величин, то формула меняет знак на отрицательный:[5]

${\displaystyle {X=X_{L}-X_{C}=\omega L-{\frac {1}{\omega C}}}}$,

но конечное значение одинаково.

Фазовые отношения

Фаза напряжения на чисто реактивном устройстве (конденсатор с бесконечным сопротивлением или индуктивности с нулевым сопротивлением) отстаёт от тока на ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$ радиан для ёмкостного сопротивления и опережает ток на ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$ радиан для индуктивного сопротивления. Знание активного и реактивного сопротивлений позволяет определить фазу между напряжением и током.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\tilde {Z}}_{C}&={1 \over \omega C}e^{j(-{\pi \over 2})}=j\left({-{\frac {1}{\omega C}}}\right)=jX_{C}\\{\tilde {Z}}_{L}&=\omega Le^{j{\pi \over 2}}=j\omega L=jX_{L}\quad \end{aligned}}}$

Для реактивной составляющей сопротивления разность фаз между током и напряжением равна ± ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$ для синусоидального сигнала. Компонент попеременно поглощает энергию из контура и затем возвращает энергию в контур, таким образом, чистое реактивное сопротивление не рассеивает мощность.

Примечания

1. Shamieh C. и McComb G., Electronics for Dummies, John Wiley & Sons, 2011.
2. Мид Р., Основы электроники, Cengage Learning, 2002.
3. Young, Hugh D.; Roger A. Freedman; A. Lewis Ford (2004) [1949]. Сирс и Земанский университет физики (11-е изд.). Сан-Франциско : Эддисон Уэсли . ISBN Young, Hugh D.; Roger A. Freedman; A. Lewis Ford (2004) [1949]. Young, Hugh D.; Roger A. Freedman; A. Lewis Ford (2004) [1949].

1. Irwin, D. (2002). Basic Engineering Circuit Analysis, page 274. New York: John Wiley & Sons, Inc.
2. Hayt, W.H., Kimmerly J.E. (2007). Engineering Circuit Analysis, 7th ed., McGraw-Hill, p. 388
3. Glisson, T.H. (2011). Introduction to Circuit Analysis and Design, Springer, p. 408
4. Horowitz P., Hill W. (2015). The Art of Electronics, 3rd ed., p. 42
5. Hughes E., Hiley J., Brown K., Smith I.McK., (2012). Hughes Electrical and Electronic Technology, 11th edition, Pearson, pp. 237—241
6. Robbins, A.H., Miller W. (2012). Circuit Analysis: Theory and Practice, 5th ed., Cengage Learning, pp. 554—558