Разностное уравнение

Ра́зностное уравне́ние — уравнение, связывающее значение некоторой неизвестной функции в любой точке с её значением в одной или нескольких точках, отстоящих от данной на определенный интервал. Применяется для описания дискретных систем.

Примеры

• Наиболее известный пример — это рекуррентное уравнение Гамма-функции

  ${\displaystyle \Gamma (z+1)=z\cdot \Gamma (z).}$

Следует помнить, что Гамма-функция не единственное решение этого разностного уравнения. Например, функция ${\displaystyle \sin {(2\pi z})\cdot \Gamma (z)}$ также удовлетворяет этому уравнению.

• Пример линейного разностного уравнения может быть записан в форме:

${\displaystyle s(n)=c_{1}s(n-1)+c_{2}s(n-2)+\dots +c_{d}s(n-d),}$

где ${\displaystyle d}$ коэффициентов ${\displaystyle c_{1},c_{2},\dots ,c_{d}}$ являются константами.

Свойства

• Разностное уравнение можно представить как дифференциальное уравнение бесконечного порядка, в силу тождества

  ${\displaystyle F(z+a)=\exp \left(a\,{\frac {d}{dz}}\right)F(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a^{n}\,F^{(n)}}{n!}}=F(z)+a\,F'(z)+{\frac {a^{2}\,F''(z)}{2}}\dots .}$

См. также

• Линейная рекуррентная последовательность — решение наиболее простого типа разностного уравнения.

Литература

• Групповые свойства разностных уравнений / В. А. Дородницын. — М. : ФИЗМАТЛИТ, 2001. — 236 с. : ил.; 22 см; ISBN 5-9221-0171-4