Равнодиагональный четырёхугольник

Равнодиагональный четырёхугольник, ромб Вариньона, с перпендикулярными бимедианами

В евклидовой геометрии равнодиагональный четырёхугольник — это выпуклый четырёхугольник, две диагонали которого имеют равные длины. Равнодиагональные четырёхугольники имели важное значение в древней индийской математике, где в классификации в первую очередь выделялись равнодиагональные четырёхугольники, и только потом четырёхугольники подразделялись на другие типы [1].

Специальные случаи

Примерами равнодиагональных четырёхугольников являются равнобедренные трапеции, прямоугольники и квадраты.

Равнодиагональный дельтоид, максимизирующий отношение периметра к диаметру, вписанный в треугольник Рёло

Среди всех четырёхугольников наибольшее отношение периметра к диаметру имеет равнодиагональный дельтоид с углами π/3, 5π/12, 5π/6 и 5π/12 [2][3].

Описание

Выпуклый четырёхугольник имеет равные диагонали тогда и только тогда, когда его параллелограмм Вариньона, образованный серединами сторон, является ромбом. Эквивалентное условие — бимедианы четырёхугольника (диагонали параллелогоамма Вариньона) перпендикулярны [4].

Выпуклый четырёхугольник с длинами диагоналей ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle q}$ и длинами бимедианам ${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle n}$ является равнодиагональным тогда и только тогда, когда [5]

${\displaystyle pq=m^{2}+n^{2}.}$

Площадь

Площадь K равнодиагонального четырёхугольника можно легко вычислить, если известны длины бимедиан m и n. Четырёхугольник равнодиагонален тогда и только тогда, когда [6][7]

${\displaystyle \displaystyle K=mn.}$

Это прямое следствие факта, что площадь выпуклого четырёхугольника равна удвоенной площади параллелограмма Вариньона и что диагонали в этом параллелограмме являются бимедианами четырёхугольника. Если использовать формулы длин бимедиан, площадь можно выразить в терминах сторон a, b, c, d равнодиагонального четырёхугольника и расстояния x между серединами диагоналей [6]

${\displaystyle K={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {(2(a^{2}+c^{2})-4x^{2})(2(b^{2}+d^{2})-4x^{2})}}.}$

Другую формулу площади можно получить, приняв p = q в формуле площади выпуклого четырёхугольника.

Связь с другими типами четырёхугольников

Параллелограмм равнодиагонален тогда и только тогда, когда он является прямоугольником[8], а трапеция равнодиагональна тогда и только тогда, когда она является равнобедренной. Вписанные равнодиагональные четырёхугольники всегда являются равнобедренными трапециями.

Существует двойственность между равнодиагональными четырёхугольниками и ортодиагональными четырёхугольниками – четырёхугольник равнодиагонален тогда и только тогда, когда его параллелограмм Вариньона имеет перпендикулярные диагонали (т.е. является ромбом), а четырёхугольник имеет перпендикулярные диагонали тогда и только тогда, когда его параллелограмм Вариньона равнодиагонален (т.е. является прямоугольником)[4]. Эквивалентно, четырёхугольник имеет равные диагонали тогда и только тогда, когда в нём бимедианы перпендикулярны, и он имеет перпендикулярные диагонали тогда и только тогда, когда у него равны бимедианы[9], Сильвестер[10] указал дальнейшую связь между равнодиагональными и ортодиагональными четырёхугольниками посредством обобщения теоремы Ван-Обеля [11].

Четырёхугольники, которые одновременно ортодиагональны и равнодиагональны, и у которых диагонали не короче всех сторон четырёхугольника, имеют максимальную площадь по отношению к диаметру, что решает случай n = 4 задачи наибольшего по площади многоугольника единичного диаметра. Квадрат является одним из таких четырёхугольников, но есть бесконечно много других. Равнодиагональные четырёхугольники с перпендикулярными диагоналями называют среднеквадратными четырёхугольниками [12], поскольку это только те четырёхугольники, для которых параллелограмм Вариньона (с вершинами в середине сторон четырёхугольника) является квадратом. Такие четырёхугольники со сторонами a, b, c и d имеют площадь [13].

${\displaystyle K={\frac {a^{2}+c^{2}+{\sqrt {4(a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2})-(a^{2}+c^{2})^{2}}}}{4}}.}$

Примечания

1. Colebrooke, 1817, с. 58.
2. Ball, 1973, с. 298–303.
3. Griffiths, Culpin, 1975, с. 165–175.
4. de Villiers, 2009, с. 58.
5. Josefsson, 2014, с. 129-144, Prop.1.
6. Josefsson, 2014, с. 19.
7. Josefsson, 2014, с. 129-144, Corollary 4.
8. Gerdes, 1988, с. 137–162.
9. Josefsson, 2012, с. 13–25, См. теорему 7 на стр. 19.
10. Silvester, 2006.
11. Silvester, 2006, с. 2–12.
12. Josefsson, 2014, с. 137.
13. Josefsson, 2014, с. 129-144, T.16.

Литература

• Henry-Thomas Colebrooke. Algebra, with arithmetic and mensuration, from the Sanscrit of Brahmegupta and Bhascara. — John Murray, 1817. — С. 58.
• D.G. Ball. A generalisation of π // Mathematical Gazette. — 1973. — Т. 57, вып. 402. — С. 298–303. — doi:10.2307/3616052.
• David Griffiths, David Culpin. Pi-optimal polygons // Mathematical Gazette. — 1975. — Т. 59, вып. 409. — С. 165–175. — doi:10.2307/3617699.
• Martin Josefsson. Five Proofs of an Area Characterization of Rectangles // Forum Geometricorum. — 2013. — Вып. 13.
• Martin Josefsson. Properties of equidiagonal quadrilaterals // Forum Geometricorum. — 2014. — Вып. 14.
• Paulus Gerdes. On culture, geometrical thinking and mathematics education // Educational Studies in Mathematics. — 1988. — Т. 19, вып. 2. — С. 137–162. — doi:10.1007/bf00751229. — JSTOR 3482571.
• Michael de Villiers. Some Adventures in Euclidean Geometry. — Dynamic Mathematics Learning, 2009. — С. 58. — ISBN 9780557102952.
• Martin Josefsson. Characterizations of Orthodiagonal Quadrilaterals // Forum Geometricorum. — 2012. — Т. 12. — С. 13–25.
• John R. Silvester. Extensions of a theorem of Van Aubel // The Mathematical Gazette. — 2006. — Т. 90, вып. 517. — С. 2–12. — JSTOR 3621406.