Псевдомногообразие (универсальная алгебра)

Не следует путать с топологическим псевдомногообразием.

Псевдомногообразие в универсальной алгебре — класс конечных алгебраических систем фиксированной сигнатуры, замкнутый относительно гомоморфных образов, подсистем и декартовых произведений конечных семейств[1]. Псевдоквазимногообразие — класс конечных систем, замкнутый относительно подсистем и конечных декартовых произведений. Конечно-замкнутые варианты понятий многообразия и квазимногообразия соответственно.

Для псевдомногообразий в общем случае не выполняется теорема Биркгофа, то есть, их нельзя определить тождествами в классе конечных систем, но во многих случаях существуют похожие результаты или слабые её варианты[2][3]. В частности, Эйленбергом и Шютценберже^[фр.] в 1976 году установлено, что всякое псевдомногообразие конечной сигнатуры можно финально определить некоторым множеством тождеств, то есть, некоторая система принадлежит псевдомногообразию тогда и только тогда, когда она удовлетворяет почти всем из заданного множества тождеств[4]. При этом любое псевдоквазимногообразие можно определить квазитождествами в классе конечных систем[5].

Псевдомногообразия имеют особое значение при изучении конечных полугрупп, в теориях автоматов и формальных языков[6].

Примечания

1. Springer, Cham. Introduction // Equational Axiomatization of Algebras with Structure. — 2019. — Кн. Foundations of Software Science and Computation Structures. — С. 400—417.
2. E.g. Banaschewski, B. (1983), «The Birkhoff Theorem for varieties of finite algebras», Algebra Universalis, Volume 17(1): 360—368, DOI 10.1007/BF01194543
3. Jean-Eric Pin, Pascal Weil. A Reiterman theorem for pseudovarieties of finite first-order structures Архивная копия от 24 сентября 2017 на Wayback Machine. Algebra Universalis, Springer Verlag, 1996, 35 (4), pp.577-595. hal-00143951
4. Горбунов, 1999, с. 123—124.
5. Горбунов, 1999, с. 124.
6. Almeida, 1994, p. 449.

Литература

• Samuel Eilenberg, M. P. Schützenbérger. On pseudovarieties (англ.) // Advances in Mathematics. — 1976. — Vol. 19, iss. 3. — P. 413—418.
• J. Reiterman. The Birkhoff theorem for finite algebras (англ.) // Algebra Universalis. — 1982. — Vol. 14, iss. 1. — P. 1—10.
• Jorge Almeida. Finite Semigroups and Universal Algebra. — World Scientific Publishing, 1994.
• Горбунов В. А. Алгебраическая теория квазимногообразий. — Новосибирск: Научная книга, 1999. — 368 с. — (Сибирская школа алгебры и логики). — ISBN 5-88119-015-7.