Прецессия Томаса

Преце́ссия То́маса — кинематический эффект специальной теории относительности, проявляющийся в изменении ориентации векторов, связанных с неинерциальной системой отсчёта, относительно лабораторной системы отсчёта[1]. Использован Люэлином Томасом в 1926 году для объяснения спин-орбитального взаимодействия электрона в атоме[2]. Если на вращающийся гироскоп действует сила, изменяющая его скорость, но отсутствует момент силы, то в классической механике такой гироскоп при движении будет сохранять ориентацию собственного момента вращения (спина). В теории относительности это уже не так, и при изменении скорости гироскопа будет происходить и изменение вектора его спина. Математически этот эффект связан с групповыми свойствами преобразований Лоренца — их некоммутативностью.

История вопроса

Эффект Томаса был известен французскому математику Э. Борелю в 1913 году[3][4]. Борель отметил некоммутативность неколлинеарных преобразований Лоренца и оценил в низшем порядке по 1/с^2 угол поворота координатных осей движущейся с ускорением системы отсчёта. В том же году два математика из Гёттенгена, Фоппл и Даниэл[5], получили точное релятивистское выражение для угла поворота при движении тела по окружности. Примерно в то же время прецессия координатных осей обсуждалась Зильберштейном[6]. В 1922 году Э. Ферми рассмотрел параллельный транспорт систем отсчета в общей теории относительности[7]. В пространстве Минковского перенос Ферми приводит к прецессии Томаса. Наконец, в 1926 году в журнале Nature была опубликована заметка Томаса[8], которая объяснила отклонение на фактор ½ данных измерений от предсказаний теории тонкой структуры атома водорода, связывавшей спин-орбитальное расщепление с прецессией Лармора. Томас ограничился вычислением в низшем порядке по 1/с^2. Работа привлекла большое внимание и эффект прецессии координатных осей при ускоренном движении стал называться «прецессией Томаса». Единственным источником, который был известен Томасу, являлась работа Де Ситтера о прецессии Луны, опубликованная в сборнике Артура Эддингтона[9].

Описание эффекта

Пусть неинерциальная система отсчёта в момент времени t имеет относительно лабораторной (инерциальной) системы отсчёта K скорость v, а в момент времени t+dt — скорость v+dv. Свяжем в эти моменты времени с неинерциальной системой две сопутствующие ей инерциальные системы K' и K", движущиеся со скоростями ${\displaystyle \mathbf {v} }$ и v+dv. Обозначим через ${\displaystyle \mathbb {L} (\mathbf {v} )}$ матрицу преобразования Лоренца. Пусть скорость системы K" относительно K' равна dv'. Переход от лабораторной системы отсчёта к системе K', а затем от системы K' к системе K" описывается произведением лоренцевских матриц:

${\displaystyle \mathbb {L} (d\mathbf {v} ')\,\mathbb {L} (\mathbf {v} )=\mathbb {R} (\mathbf {n} ,d\phi )\,\mathbb {L} (\mathbf {v} +d\mathbf {v} ),}$

где ${\displaystyle \mathbb {R} (\mathbf {n} ,\phi )}$ — матрица 3-мерного вращения декартовых осей вокруг единичного вектора ${\displaystyle \mathbf {n} }$ на угол ${\displaystyle \phi }$ и последовательность матриц обратна последовательности выполняемых преобразований. Параметры этого вращения равны:

${\displaystyle \mathbf {n} \,d\phi =-{\frac {\gamma -1}{v^{2}}}\,[\mathbf {v} \times d\mathbf {v} ],}$

где dv и dv' связаны стандартным релятивистским законом сложения скоростей, а ${\displaystyle \gamma =1/{\sqrt {1-\mathbf {v} ^{2}/c^{2}}}}$ — лоренцевский фактор и ${\displaystyle c}$ — скорость света. Таким образом, композиция чистых преобразований Лоренца в общем случае равна не чистому преобразованию Лоренца (бусту), а композиции буста и поворота. Связано это с тем, что группа Лоренца описывает повороты в 4-мерном пространстве-времени. В зависимости от того, в какой плоскости происходит вращение, это может быть буст, 3-мерное вращение или их комбинация. Вращение, возникающее в результате композиции лоренцевских бустов, называется вигнеровским вращением.

Пусть с неинерциальной системой отсчёта связан некоторый вектор S. Если при изменении скорости системы все векторы переносятся параллельным образом с точки зрения сопутствующих систем отсчёта, то в результате вигнеровского вращения происходит поворот этих векторов, который можно записать в форме следующего уравнения Томаса:

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {S} }{dt}}=-{\frac {\gamma -1}{v^{2}}}\,[\mathbf {v} \times \mathbf {a} ]\times \mathbf {S} ,}$

где a=dv/dt — ускорение относительно лабораторной системы отсчёта. В случае равномерного движения по окружности с угловой скоростью ${\displaystyle \omega }$, скорость и ускорение перпендикулярны друг другу. В силу уравнения Томаса происходит поворот вектора S с постоянной угловой скоростью

${\displaystyle \Omega =-(\gamma -1)\,\omega .}$

Это уравнение было получено впервые Л. Фёпплем и П. Даниэлом[5]. В случае гироскопа данное вращение вектора углового момента называется прецессией Томаса.

В атоме водорода прецессия спина электрона уменьшает спин-орбитальное взаимодействие в два раза. В разложении по степеням 1/c^2 уравнения Дирака для атома водорода «половинка Томаса» появляется автоматически. Разнообразные физические и геометрические аспекты прецессии Томаса обсуждаются в монографиях [1] [2] и статьях методического характера [10] [11] [12].

См. также

• Форма релятивистских объектов
• Лоренцево сокращение
• Релятивистское замедление времени
• Неинерциальная система отсчёта

Примечания

1. Мёллер К. Теория относительности. — М.: Атомиздат, 1975. — 400 с.
2. Джексон Д. Классическая электродинамика. — М.: Мир, 1965. — 702 с.
3. Émile Borel. La théorie de la relativité et la cinématique // Comptes Rendus des séances de l’Académie des Sciences. — 1913. — Vol. 156. — P. 215.
4. Émile Borel. La cinématique dans la théorie de la relativité // Comptes Rendus des séances de l’Académie des Sciences. — 1913. — Vol. 157. — P. 703.
5. Ludwig Föppl and Perrey Daniell. Zur Kinematik des Born’schen starren Körpers // Nachrichten von der Königlichen Gesellschaft Wissenschaften zu Göttingen. — 1913, pp. 519–529.
6. L. Silberstein. The Theory of Relativity. — London: MacMillan, 1914. — 400 с.
7. Enrico Fermi. Sopra i fenomeni che avvengono in vicinanza di una linea araria // Atti Accad. Naz. Lincei Rend. Cl. Sci. Fis. Mat. Nat.. — 1922. — Т. 31. — С. 21, 51.
8. L. H. Thomas. Motion of the spinning electron (англ.) // Nature. — 1926. — Vol. 117. — P. 514.
9. A. S. Eddington. The Mathematical Theory of Relativity. — Cambridge, 1924.
10. John A. Rhodes, Mark D. Semon. Relativistic velocity space, Wigner rotation and Thomas precession // Am. J. Phys.. — 2004. — Vol. 72. — P. 943.
11. Silagadze, Z. K. Relativity without Tears // Acta Physica Polonica B. — 2008. — Vol. 39. — P. 811.
12. Степанов С. С. Прецессия Томаса для спина и стержня // Физика Элементарных Частиц и Атомного Ядра. — 2012. — Т. 43, № 1. — С. 246—282. Архивировано 19 апреля 2011 года.

Литература

• Малыкин Г. Б. Прецессия Томаса: корректные и некорректные решения (рус.) // Успехи физических наук. — Российская академия наук, 2006. — Т. 176, вып. 8. — С. 865—882. — doi:10.3367/UFNr.0176.200608f.0865.
• Степанов С.С. Прецессия Томаса для спина и стержня // Физика элементарных частиц и атомного ядра. — 2012. — Т. 43, № 1. — С. 246—282.