Предельное множество

Предельное множество — математическое понятие, означающее множество состояний, которое достигает математический объект, зависящий от времени (например, динамическая система), через бесконечный интервал времени. Другими словами, это множество состояний, к которым объект неограниченно приближается при неограниченном возрастании (или убывании) времени.

В теории динамических систем

Пусть ${\displaystyle x=\varphi (t)}$ — траектория векторного поля (динамической системы) с фазовым пространством X. Точка ${\displaystyle x_{*}\in X}$ называется ω-предельной (α-предельной) точкой этой траектории, если существует последовательность ${\displaystyle t_{n}\to +\infty }$ (соответственно, ${\displaystyle t_{n}\to -\infty }$) такая, что ${\displaystyle \varphi (t_{n})\to x_{*}}$. Соответственно, α-предельным (ω-предельным) множеством этой траектории называется множество, состоящее из всех её α-предельных (ω-предельных) точек.

Теорема. Как α-предельное, так и ω-предельное множество являются инвариантными и замкнутыми множествами[1].

См. также

• Особая точка (дифференциальные уравнения)
• Предельный цикл
• Теорема Пуанкаре — Бендиксона
• Аттрактор

Литература

• Каток А. Б., Хассельблат Б.^[нем.]. Введение в современную теорию динамических систем = Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems / пер. с англ. А. Кононенко при участии С. Ферлегера. — М.: Факториал, 1999. — С. 455. — 768 с. — ISBN 5-88688-042-9.
• А. Ф. Филиппов. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. — М.: Наука, 1985.
• К. Носиро. Предельные множества. — М.: ИЛ, 1963.
• В. В. Немыцкий, В. В. Степанов. Качественная теория дифференциальных уравнений. — М.: ГИТТЛ, 1949.
• Э. Коллингвуд, А. Ловатер. Теория предельных множеств. — М.: Мир, 1971.

Примечания

1. *В.В. Немыцкий, В.В. Степанов, Качественная теория дифференциальных уравнений. М.: ГИТТЛ, 1949 (гл. IV, пар. 3)