Порядок Шарковского

Порядок Шарковского — упорядочение натуральных чисел, связанное с исследованием периодических точек динамических систем на отрезке или на вещественной прямой.

История

Исследуя унимодальные отображения, в частности, квадратичное отображение, А. Н. Шарковский в 1964 году обнаружил, что в области «хаоса» на соответствующей бифуркационной диаграмме имеются так называемые «окна периодичности» — узкие интервалы значений параметра ${\displaystyle r}$, в которых существуют периодические движения; им и соответствуют переходы в порядке Шарковского. В частности, двигаясь в нижней строке против направления стрелок от 1, мы проходим каскад удвоений периодов Фейгенбаума.

Формулировка

Для целых положительных чисел ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ мы будем писать ${\displaystyle a\to b}$, если динамическая система на отрезке или прямой, имеющая точку наименьшего периода a, имеет и точку наименьшего периода b.

Теорема Шарковского утверждает, что таким образом задаётся полный порядок на множестве натуральных чисел, устроенный следующим образом:

→ 3 → 5 → 7 → 9 → 11 → 13 → …

→ 3×2 → 5×2 → 7×2 → 9×2 → 11×2 → 13×2 → …

→ 3×2² → 5×2² → 7×2² → 9×2² → 11×2² → 13×2² → …

…………………………………

→ 2^n → 2^n−1 → … → 2^5 → 2^4 → 2³ → 2² → 2 → 1.

В верхней строчке выписаны в порядке возрастания все нечётные числа, кроме 1, во второй строке — произведения нечётных чисел (кроме 1) на 2, в третьей — произведения нечётных чисел на 2², в k-й строке сверху — произведения нечётных чисел на ${\displaystyle 2^{k-1}}$. Наконец, в последней (нижней) строке представлены чистые степени двойки.

Период 3 влечёт хаос

В частности, число 3 — наибольшее в смысле этого упорядочения, поэтому наличие точки периода 3 влечёт за собой наличие точки с любым периодом. Часто этот частный случай сокращённо формулируют как «период 3 влечёт хаос». Случай периодической точки периода 3 — наиболее содержательный. В случае наличия точки периода 3 можно утверждать «хаотичность» системы и в других смыслах; например, топологическая энтропия системы будет положительна.^[источник не указан 1836 дней]

Набросок доказательства

В этом случае найдутся различные точки ${\displaystyle a,b,c}$, для которых

${\displaystyle f(a)=b,\quad f(b)=c,\quad f(c)=a.}$

Можно без ограничения общности считать, что ${\displaystyle a<b<c}$.

Тогда для отрезков ${\displaystyle I_{0}=[a,b]}$ и ${\displaystyle I_{1}=[b,c]}$ выполнено

${\displaystyle f(I_{0})\supset I_{1},\quad f(I_{1})\supset I_{0}\cup I_{1}.}$

Отсюда несложно вывести, что для любого конечного слова ${\displaystyle w=w_{0}w_{1}\dots w_{k-1}}$, составленного из нулей и единиц и не содержащего двух нулей подряд, найдётся такой интервал ${\displaystyle I_{w}}$, что

${\displaystyle f^{j}(I_{w})\subset I_{w_{j}},\quad j=1,\dots ,k-2,}$

${\displaystyle f^{k-1}(I_{w})=I_{w_{k-1}}.}$

Отсюда уже несложно построить периодическую точку любого периода ${\displaystyle k}$: достаточно взять в алфавите из нулей и единиц любое периодическое слово ${\displaystyle \omega =(w),\ |w|=k}$ наименьшего периода ${\displaystyle k}$ без двух нулей подряд. Для соответствующего ему отрезка ${\displaystyle I_{w}}$ выполнено

${\displaystyle f^{k}(I_{w})\supset I_{w},}$

поэтому в этом отрезке найдётся периодическая точка соответствующего периода. Наконец, в терминах символической динамики (для разбиения ${\displaystyle I_{0}}$, ${\displaystyle I_{1}}$, дополнение) её судьба это последовательность ${\displaystyle \omega }$, у которой ${\displaystyle k}$ является наименьшим периодом, поэтому ${\displaystyle k}$ является наименьшим периодом и для построенной точки.

Литература

• Шарковский А. Н. Сосуществование циклов непрерывного преобразования прямой в себя // Украинский математический журнал. — 1964. — Т. 16, № 1. — С. 61—71.
• Шарковский А. Н., Коляда С. Ф., Спивак А. Г., Федоренко В. В. Динамика одномерных отображений. — Киев: Наукова думка, 1989. — 216 с.
• Данилов Ю. А. Лекции по нелинейной динамике. Элементарное введение. — М.: Постмаркет, 2001. — 184 с.

Ссылки

• Клименко А. В. Теорема Шарковского (часть 1) + (часть 2) на YouTube