Порядок Брюа

Порядок Брюа на группе ${\displaystyle S^{4}}$

Порядок Брюа (сильный порядок, сильный порядок Брюа, порядок Шевалле, порядок Брюа — Шевалле) — частичный порядок на элементах группы Коксетера, который соответствует порядку включения на многообразиях Шуберта^[англ.].

Впервые исследован Шарлем Эресманном в 1934 году[1] на многообразиях Шуберта многообразий флагов^[англ.] или грасманианов, а аналогичную конструкцию для более общего случая полупростых алгебраических групп изучил Клод Шевалле в 1958 году[2]. В 1968 году Дайя-Нанд Верма^[англ.] применил комбинаторные методы для исследования порядка Брюа на группах Вейля, и он же ввёл название — «порядок Брюа» в честь французского математика Франсуа Брюа^[англ.] ввиду связи с разложением Брюа^[англ.][3]. Левые и правые слабые порядки Брюа изучал Андерс Бьёрнер^[англ.][4].

Определение

Если ${\displaystyle (W,S)}$ — система Коксетера с порождающими элементами ${\displaystyle S}$, то (сильный, слабый левый, слабый правый) порядок Брюа — это частичный порядок на группе ${\displaystyle W}$, определяемый для ${\displaystyle u,v\in W}$ следующим образом[5]:

• ${\displaystyle u\leqslant v}$ в (сильном) порядке Брюа, если некоторая подстрока некоторого (любого) приведённого слова для ${\displaystyle v}$ является приведённым словом для ${\displaystyle u}$[6];
• ${\displaystyle u\leqslant _{L}v}$, то есть ${\displaystyle u}$ меньше или равно ${\displaystyle v}$ в слабом левом порядке Брюа, если некоторый постфикс некоторого приведённого слова для ${\displaystyle v}$ является приведённым словом для ${\displaystyle u}$;
• ${\displaystyle u\leqslant _{R}v}$ в слабом правом порядке Брюа, если некоторый префикс некоторого приведённого слова для ${\displaystyle v}$ является приведённым словом для ${\displaystyle u}$.

Граф Брюа

Граф Брюа — это ориентированный граф, связанный с сильным порядком Брюа. Множество вершин графа Брюа состоит из элементов группы Коксетера, а ориентированное ребро между вершинами ${\displaystyle u}$ и ${\displaystyle v}$ проводится тогда и только тогда, когда ${\displaystyle {\textrm {l}}(u)<{\textrm {l}}(v)}$ и существует такое отражение ${\displaystyle t}$, что ${\displaystyle u=tv}$. Граф Брюа можно воспринимать как ориентированный граф с помеченными рёбрами, где метки соответствуют отражениям. Аналогичным образом можно определить граф Брюа с умножением на отражение ${\displaystyle t}$ справа. В таком случае новый граф окажется изоморфен исходному, но метки на его рёбрах будут расставлены иначе.

Сильный порядок Брюа на симметрической группе обладает функцией Мёбиуса, которая определяется равенством ${\displaystyle \mu (\pi ,\sigma )=(-1)^{\ell (\sigma )-\ell (\pi )}}$, а значит соответствующее частично упорядоченное множество является эйлеровым.

Примечания

1. Ehresmann, 1934.
2. Chevalley, 1958.
3. Verma, 1968.
4. Björner, 1984.
5. Приведённое слово для элемента ${\displaystyle w\in W}$ — это минимальное по длине представление элемента ${\displaystyle w}$ в виде произведения элементов из ${\displaystyle S}$, а длина ${\displaystyle {\textrm {l}}(w)}$ элемента ${\displaystyle w}$ — это число элементов в приведённом слове
6. Здесь «подстрока» не обязательно означает «последовательная подстрока»

Литература

• Anders Björner. Orderings of Coxeter groups // Combinatorics and algebra (Boulder, Colo., 1983) / Curtis Greene. — Providence, R.I.: American Mathematical Society, 1984. — Т. 34. — С. 175–195. — (Contemp. Math.). — ISBN 978-0-8218-5029-9.
• Anders Björner, Francesco Brenti. Combinatorics of Coxeter groups. — Berlin, New York: Springer-Verlag, 2005. — Т. 231. — (Graduate Texts in Mathematics). — ISBN 978-3-540-44238-7. — doi:10.1007/3-540-27596-7.
• C. Chevalley. Sur les décompositions cellulaires des espaces G/B // Algebraic groups and their generalizations: classical methods (University Park, PA, 1991) / William J. Haboush, Brian J. Parshall. — Providence, R.I.: American Mathematical Society, 1958. — Т. 56. — С. 1–23. — (Proc. Sympos. Pure Math.). — ISBN 978-0-8218-1540-3.
• Charles Ehresmann. Sur la Topologie de Certains Espaces Homogènes (Fr) // Annals of Mathematics. — Annals of Mathematics, 1934. — Т. 35, вып. 2. — С. 396–443. — ISSN 0003-486X. — doi:10.2307/1968440. — JSTOR 1968440.
• Daya-Nand Verma. Structure of certain induced representations of complex semisimple Lie algebras // Bulletin of the American Mathematical Society. — 1968. — Т. 74. — С. 160–166. — ISSN 0002-9904. — doi:10.1090/S0002-9904-1968-11921-4.