Полуторалинейная форма

Полуторалинейная форма — обобщение понятия билинейной формы. Как правило под полуторалинейной формой подразумевают функцию f(x, y) от двух векторов векторного пространства ${\displaystyle V}$ над полем ${\displaystyle \mathbb {C} }$ со значениями в этом поле, если она линейная как функция ${\displaystyle x}$ при каждом фиксированном ${\displaystyle y}$ и полулинейная как функция ${\displaystyle y}$ при каждом фиксированном ${\displaystyle x}$. Требование полулинейности по ${\displaystyle y}$ означает, что выполнены следующие условия:[1]

• ${\displaystyle f(x,y_{1}+y_{2})=f(x,y_{1})+f(x,y_{2})\ \ \forall x,y_{i}\in V,}$
• ${\displaystyle f(x,\alpha y)={\overline {\alpha }}f(x,y)\ \ \forall x,y\in V,\ \alpha \in \mathbb {C} .}$

Так определённые формы естественным образом возникают в приложениях к физике.

Существует обобщение на случай, когда векторное пространство рассматривается над произвольным полем, тогда комплексное сопряжение заменяется на произвольный фиксированный автоморфизм поля. В проективной геометрии иногда рассматривают ещё большее обобщение, когда вместо векторного пространства используется модуль над произвольным телом ${\displaystyle K}$.

Договорённости о порядке аргументов

В приведённом в преамбуле определении выполнена линейность по первому аргументу и полулинейность по второму. Такая договорённость часто используется в математической литературе. Стоит, однако, отметить, что в физической литературе чаще используется полулинейность по первому аргументу[2], эта договорённость проистекает из введённых Дираком в квантовой механике обозначений бра и кет.

В комплексном векторном пространстве

Отображение ${\displaystyle \varphi :V\times V\to \mathbb {C} }$ в комплексном векторном пространстве ${\displaystyle V}$ называется полуторалинейным, если:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\varphi (x+y,z+w)=\varphi (x,z)+\varphi (x,w)+\varphi (y,z)+\varphi (y,w)\\&\varphi (ax,by)=a{\overline {b}}\,\varphi (x,y)\end{aligned}}}$

для всех ${\displaystyle x,y,z,w\in V}$ и всех ${\displaystyle a,b\in \mathbb {C} .}$ Здесь под ${\displaystyle {\overline {b}}}$ подразумевается число, комплексно сопряжённое к числу ${\displaystyle b.}$

Комплексную полуторалинейную форму можно также рассматривать как комплексное билинейное отображение $${\displaystyle V\times {\overline {V}}\to \mathbb {C} ,}$$ где ${\displaystyle {\overline {V}}}$ — комплексно-сопряжённое векторное пространство к пространству ${\displaystyle V.}$

Для фиксированного ${\displaystyle w\in V}$ отображение ${\displaystyle z\mapsto \varphi (z,w)}$ является линейным функционалом на ${\displaystyle V}$, то есть элементом двойственного пространства ${\displaystyle V^{*}}$. Аналогично, отображение ${\displaystyle w\mapsto \varphi (z,w)}$ при фиксированном ${\displaystyle z}$ является антилинейным функционалом на ${\displaystyle V.}$

Для любой комплексной полуторалинейной формы ${\displaystyle \varphi }$ можно рассмотреть вторую форму ${\displaystyle \psi }$ по формуле: $${\displaystyle \psi (w,z)={\overline {\varphi (z,w)}}.}$$ В общем случае ${\displaystyle \psi }$ и ${\displaystyle \varphi }$ будут различны, а их матрицы эрмитово-сопряжены. Если формы совпадают, говорят, что ${\displaystyle \varphi }$ эрмитова. Аналогично, если они противоположны друг другу, то говорят, что ${\displaystyle \varphi }$ косоэрмитова.

Матричное представление

Пусть ${\displaystyle V}$ — конечномерное комплексное векторное пространство, тогда для любого базиса ${\displaystyle \left\{e_{i}\right\}_{i}}$ полуторалинейную форму ${\displaystyle \varphi }$ можно представить при помощи матрицы ${\displaystyle \Phi }$ по следующей формуле: $${\displaystyle \varphi (w,z)=\varphi \left(\sum _{i}w_{i}e_{i},\sum _{j}z_{j}e_{j}\right)=\sum _{i}\sum _{j}w_{i}{\overline {z_{j}}}\varphi \left(e_{i},e_{j}\right)=w^{\mathrm {T} }\Phi {\overline {z}}.}$$ Элементы матрицы ${\displaystyle \Phi }$ определяются из условия ${\displaystyle \Phi _{ij}:=\varphi \left(e_{i},e_{j}\right).}$

Эрмитовы формы

Эрмитова форма (также полуторалинейная симметрическая форма) — это полуторалинейная форма ${\displaystyle h:V\times V\to \mathbb {C} }$ на комплексном пространстве ${\displaystyle V}$ такая, что $${\displaystyle h(w,z)={\overline {h(z,w)}}.}$$

В случае положительной определённости такой формы (определяемой аналогично билинейному случаю) говорят об эрмитовом скалярном произведении. Стандартное эрмитово произведение задаётся формулой $${\displaystyle \langle w,z\rangle =\sum _{i=1}^{n}w_{i}{\overline {z}}_{i}.}$$

Пару из векторного пространства и определённой на нём эрмитовой формы ${\displaystyle (V,h)}$ называют эрмитовым пространством, а в положительно определённом случае — комплексным гильбертовым пространством. При записи эрмитовой формы в произвольном базисе получается эрмитова матрица.

При применении эрмитовой формы к одному и тому же вектору $${\displaystyle |z|_{h}=h(z,z)}$$ всегда получается вещественное число. Можно показать, что комплексная полуторалинейная форма эрмитова тогда и только тогда, когда соответствующая квадратичная форма вещественна для всех ${\displaystyle z\in V.}$

Косоэрмитовы формы

Косоэрмитова форма — это полуторалинейная форма ${\displaystyle s:V\times V\to \mathbb {C} }$ на комплексном пространстве ${\displaystyle V}$ такая, что $${\displaystyle s(w,z)=-{\overline {s(z,w)}}.}$$ Каждую косоэрмитову форму можно представить как эрмитову, умноженную на ${\displaystyle i}$.

При записи косоэрмитовой формы в произвольном базисе получается косоэрмитова (антиэрмитова) матрица.

При применении косоэрмитовой формы к одному и тому же вектору $${\displaystyle |z|_{s}=s(z,z)}$$ всегда получается чисто мнимое число.

Над кольцом с делением

Понятие полуторалинейной формы допускает обобщение на произвольное кольцо с делением. В коммутативном случае это область целостности, в некоммутативном чаще всего используется частный случай, когда кольцо является телом. В коммутативном случае в дальнейшем тексте все антиавтоморфизмы можно считать просто автоморфизмами, так как эти понятия совпадают для коммутативных колец.

Определение

Пусть ${\displaystyle K}$ — кольцо с делением, а ${\displaystyle \sigma }$ — фиксированный антиавтоморфизм^[англ.] этого кольца. Тогда ${\displaystyle \sigma }$-полуторалинейная форма на левом ${\displaystyle K}$-модуле ${\displaystyle M}$ — это билинейное отображение ${\displaystyle \varphi \colon M\times M\to K}$ такое, что для любых ${\displaystyle x,y}$ из модуля ${\displaystyle M}$ и любых скаляров ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ из ${\displaystyle K}$ выполнено:

${\displaystyle \varphi (x\alpha ,y\beta )=\alpha \,\varphi (x,y)\,\sigma (\beta ).}$

Ортогональное дополнение

Для данной полуторалинейной формы ${\displaystyle \varphi }$ на модуле ${\displaystyle M}$ и подмодуля ${\displaystyle W}$ модуля ${\displaystyle M}$ ортогональным дополнением ${\displaystyle W}$ называется

${\displaystyle W^{\perp }=\{\mathbf {v} \in M\mid \varphi (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=0,\ \forall \mathbf {w} \in W\}.}$

Аналогично, говорят, что элемент ${\displaystyle x\in M}$ ортогонален элементу ${\displaystyle y\in M}$ по отношению к форме ${\displaystyle \varphi }$, если ${\displaystyle \varphi (x,y)=0}$. Это обозначают как ${\displaystyle x\perp _{\varphi }y}$, или просто ${\displaystyle x\perp y}$, если форма ясна из контекста. Это отношение не обязательно симметрично, то есть из ${\displaystyle x\perp y}$ не следует ${\displaystyle y\perp x}$. Если для всех ${\displaystyle x,y}$ из ${\displaystyle x\perp y}$ следует ${\displaystyle y\perp x}$, то форму называют рефлексивной.

Пример

Пусть ${\displaystyle V}$ — трёхмерное векторное пространство над конечным полем ${\displaystyle F=\operatorname {GF} (q^{2})}$, где ${\displaystyle q}$ — степень простого числа. Пусть два вектора ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ заданы координатами в стандартном базисе ${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3})}$ и ${\displaystyle y_{1},y_{2},y_{3}}$. Тогда можно определить отображение ${\displaystyle \varphi }$ формулой:

${\displaystyle \varphi (x,y)=x_{1}y_{1}{}^{q}+x_{2}y_{2}{}^{q}+x_{3}y_{3}{}^{q}.}$

Отображение ${\displaystyle \sigma :t\mapsto t^{q}}$ — автоморфизм ${\displaystyle F}$, являющийся инволюцией. Отображение ${\displaystyle \varphi }$ является ${\displaystyle \sigma }$-полуторалинейной формой. Эта форма эрмитова, а матрица ${\displaystyle M_{\varphi }}$, соответствующая этой форме в стандартном базисе — это просто единичная матрица.

См. также

• Билинейная форма
• Линейная форма
• Эрмитова форма
• *-алгебра

Примечания

1. Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия. — гл. VI, § 6.3. — М.: Физматлит, 2009.
2. примечание 1 в Anthony Knapp Basic Algebra (2007) pg. 255 Архивная копия от 31 октября 2021 на Wayback Machine

Литература

• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.
• Dembowski, Peter (1968), Finite geometries, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 44, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 3-540-61786-8, MR 0233275
• Gruenberg, K.W.; Weir, A.J. (1977), Linear Geometry (2nd ed.), Springer, ISBN 0-387-90227-9
• Jacobson, Nathan J. (2009) [1985], Basic Algebra I (2nd ed.), Dover, ISBN 978-0-486-47189-1

Внешние ресурсы

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Sesquilinear form", Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4