Полиамонд

Полиамонд (англ. polyiamond)[1][2] или треуго́льный мо́нстр (англ. triangular animal)[3][4][5] — геометрическая фигура в виде многоугольника, составленного из нескольких одинаковых равносторонних треугольников, примыкающих друг к другу по рёбрам. Полиамонды можно рассматривать как конечные подмножества треугольного паркета со связной внутренностью.

Наряду с полимино, полиамонды широко распространены в занимательной математике, в частности, в задачах на составление фигур[6][7][8], на замощение плоскости[9].

Количество

Одним из основных вопросов о полиамондах является вопрос о количестве полиамондов, которые можно составить из данного числа треугольников. Как и в случае полимино, различают «свободные» («двусторонние») полиамонды, для которых повороты и отражения не считаются различными формами; «односторонние», когда фигуры при зеркальных отражениях считаются различными, и «фиксированные», различаемые также и при поворотах.

В следующей таблице указано число n-амондов разных типов вплоть до n = 12.

n полиамонды псевдополиамонды[10][11]
двусторонние односторонние фиксированные двусторонние
все с отверстиями без отверстий
A000577 A070764 A070765 A006534 A001420 (нет)
1 1 0 1 1 2 1
2 1 0 1 1 3 3
3 1 0 1 1 6 11
4 3 0 3 4 14 75
5 4 0 4 6 36 -
6 12 0 12 19 94 -
7 24 0 24 43 250 40 609[11]
8 66 0 66 120 675 -
9 160 1 159 307 1838 -
10 448 4 444 866 5053 -
11 1186 25 1161 2336 14 016 -
12 3334 108 3226 6588 39 169 -

Другие последовательности OEIS, связанные с полиамондами:

  • Последовательность A096361 в OEIS: площадь (в треугольниках), покрываемая всеми n-амондами;
  • Последовательность A030223 в OEIS: число n-амондов с зеркальной симметрией;
  • Последовательность A030224 в OEIS: число n-амондов без зеркальной симметрии.

Примеры

Название Число фигур Фигуры
Мониамонд (мономонд) 1
Диамонд 1
Триамонд 1
Тетриамонд 3
Пентиамонд 4
Гексиамонд 12

«Полоса»[3] (bar)[1][4]
«Посох» (crook)
«Корона» (crown)
«Сфинкс» (sphinx)
«Змея» (snake)
«Яхта» (yacht)

«Погон» (chevron)
«Указательный столб» (signpost)
«Рак» (lobster)
«Крюк» (hook)
«Шестиугольник» (hexagon)
«Бабочка» (butterfly)

Терминология

Фрэнк Харари в своих публикациях называл n-мино «n-клеточными животными». В статье «Шахматные доски и полимино» в журнале American Mathematical Monthly Соломон Голомб предложил использовать треугольное или шестиугольное замощение вместо квадратного паркета, введя термины «треугольные монстры» и «шестиугольные монстры» для обозначения соответствующих полиформ[4].

Термин «полиамонд» был придуман математиком Т. О’Берном из Глазго по аналогии с «полимино» и одним из английских названий ромба — диамонд (англ. diamond). Поскольку диамонд можно составить из двух равносторонних треугольников, то фигуру из трёх равносторонних треугольников О’Берн назвал триамондом, из четырёх — тетриамондом и т. д. О’Берн также придумал большинство названий гексиамондов[2][3][4] (см. табл.)

См. также

Примечания

  1. ↑ 1 2 Weisstein, Eric W. Polyiamond (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  2. ↑ 1 2 Гарднер М. Математические новеллы / Пер. с англ. Ю. А. Данилова. Под ред. Я. А. Смородинского. — М.: Мир, 1974. — С. 20 — 31.
  3. ↑ 1 2 3 Голомб С.В. Полимино = Polyominoes / Пер. с англ. В. Фирсова. Предисл. и ред. И. Яглома. — М.: Мир, 1975. — С. 143 — 147. — 207 с.
  4. ↑ 1 2 3 4 Golomb, S.W. Polyominoes: Puzzles, Patterns, Problems, and Packings (англ.). — Princeton, NJ: Princeton University Press, 1994. — P. 90 — 93.
  5. ↑ George E. Martin. Polyominoes: a guide to puzzles and problems in tiling (англ.). — MAA, 1996. — ISBN 0-88385-501-1. The Animals.
  6. ↑ Polyiamonds. The Poly Pages. Дата обращения: 9 октября 2015. Архивировано 4 марта 2016 года.
  7. ↑ David Goodger. An Introduction to Polyiamonds. Дата обращения: 9 октября 2015. Архивировано 15 октября 2015 года.
  8. ↑ David Goodger. Polyiamonds: Puzzles & Solutions. Дата обращения: 9 октября 2015. Архивировано 15 октября 2015 года.
  9. ↑ Glenn C. Rhoads. Planar tilings by polyominoes, polyhexes, and polyiamonds. Journal of Computational and Applied Mathematics. Дата обращения: 9 октября 2015. Архивировано 24 сентября 2015 года.
  10. ↑ Col. George Sicherman. Galvagni Figures for Polymings. Polyform Curiosities. Дата обращения: 10 октября 2015. Архивировано 4 марта 2016 года.
  11. ↑ 1 2 Peter Esser. Pseudo Polyiamonds. Yahoo Groups (25 ноября 2010). Дата обращения: 10 октября 2015. Архивировано 6 марта 2016 года.

Ссылки