Декамино

Декамино́ (или 10-мино) — десятиклеточные полимино, или многоугольники, составленные из 10 единичных квадратов, соединённых сторонами[1][2].

Если не различать фигуры, получаемые друг из друга поворотами и отражениями, то существует 4655 декамино[1][2][3][4]. Если условиться различать зеркальные отражения, то число различных декамино возрастает до 9189[3][5], а если различать и вращения — то до 36 446[3][6][7].

Подмножества

195 из 4655 двусторонних (свободных) декамино содержат в себе отверстия[3][8]. 13 из 195 «дырявых» декамино содержат отверстия в форме домино[9] (все они могут быть получены добавлением единичного квадрата к единственному нонамино с отверстием в форме домино); оставшиеся 182 дырявых декамино содержат отверстия в форме мономино[9].

Симметрии

Единственное декамино с двумя диагональными осями зеркальной симметрии

4655 двусторонних декамино можно разбить на несколько подмножеств по их группам симметрии[7]:

  • 4461 декамино асимметричны — их группа симметрии тривиальна[10];
  • 90 декамино имеют одну ось симметрии, параллельную рёбрам квадратного паркета, и их группа симметрии состоит из двух элементов — тождественного преобразования и отражения[11];
  • 22 декамино имеют одну диагональную ось симметрии, и их группа симметрии также состоит из двух элементов[12];
  • 73 декамино имеют центральную симметрию второго порядка, и их группа симметрии состоит из двух элементов — тождественного преобразования и поворота на 180°[13];
  • 8 декамино имеют две взаимно перпендикулярные оси симметрии, параллельные сторонам полимино; их группа симметрий состоит из четырёх элементов — тождественного преобразования, двух отражений и поворота на 180°[14];
  • 1 декамино имеет две взаимно перпендикулярные диагональные оси симметрии, и его группа симметрий состоит из четырёх элементов[15].

В отличие от октамино и нонамино, среди декамино не встречается поворотная симметрия четвёртого порядка.

Число двусторонних или свободных декамино (фигур, которые можно поворачивать и переворачивать), таким образом, равно

число односторонних декамино (фигур, которые можно поворачивать, но нельзя переворачивать) равно

а число фиксированных декамино (фигур, которые нельзя ни поворачивать, ни переворачивать) —

Замощение плоскости

3070 двусторонних декамино (все, кроме 1585, в число которых входят и 195 «дырявых» декамино) покрывают плоскость[16][17][18].

Составление конструкций из декамино

Набор из четырёх декамино, обладающий способностью к правильной самовоспроизводимости первого порядка[1]

Поскольку 195 декамино содержат «отверстия», из всех 4655 фигур нельзя сложить ни одного прямоугольника.

4460 односвязных[19] декамино занимают общую площадь в 44 600 единичных квадратов; наибольший квадрат, который теоретически возможно построить с помощью односвязных декамино — квадрат 210 × 210, для построения которого требуется 4410 декамино. Такой квадрат в действительности был построен Livio Zucca[20].

Псевдодекамино

Псевдополимино — обобщение полимино, набор полей бесконечной шахматной доски, которые может обойти король[1]. Существует 758 381 двустороннее псевдодекамино[21], 1 514 618 односторонних псевдодекамино[22] и 6 053 180 фиксированных псевдодекамино[23].

Примечания

  1. ↑ 1 2 3 4 Голомб, 1975.
  2. ↑ 1 2 Golomb, 1994.
  3. ↑ 1 2 3 4 Weisstein, Eric W. Polyomino (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  4. ↑ Последовательность A000105 в OEIS
  5. ↑ Последовательность A000988 в OEIS
  6. ↑ Последовательность A001168 в OEIS
  7. ↑ 1 2 Redelmeier, 1981.
  8. ↑ Последовательность A001419 в OEIS
  9. ↑ 1 2 Tomás Oliveira e Silva. Detailed data for polyominoes with area 10 (19 декабря 2014). Архивировано 26 сентября 2015 года.
  10. ↑ Последовательность A006749 в OEIS
  11. ↑ Последовательность A006746 в OEIS
  12. ↑ Последовательность A006748 в OEIS
  13. ↑ Последовательность A006747 в OEIS
  14. ↑ Последовательность A056877 в OEIS
  15. ↑ Последовательность A056878 в OEIS
  16. ↑ Rawsthorne, 1988.
  17. ↑ Joseph Myers. Polyomino, polyhex and polyiamond tiling. Архивировано 17 ноября 2015 года.
  18. ↑ Последовательности A054359, A054360, A054361 в OEIS
  19. ↑ Т.е. не содержащих отверстий.
  20. ↑ Giovanni Resta. Maximal squares of polyominoes. Iread.it. Архивировано 16 января 2014 года.
  21. ↑ Последовательность A030222 в OEIS
  22. ↑ Последовательность A030233 в OEIS
  23. ↑ Последовательность A006770 в OEIS

Литература

  • Голомб С.В.. Полимино = Polyominoes / Пер. с англ. В. Фирсова. Предисл. и ред. И. Яглома. — М.: Мир, 1975. — 207 с.
  • Solomon W. Golomb. Polyominoes. — 2nd ed. — Princeton, New Jersey: Princeton University Press, 1994. — ISBN 0-691-02444-8.
  • D. Hugh Redelmeier. Counting polyominoes: yet another attack // Discrete Mathematics : журнал. — 1981. — Vol. 36. — P. 191–203. — doi:10.1016/0012-365X(81)90237-5.
  • Daniel A. Rawsthorne. Tiling complexity of small n-ominoes (n<10) // Discrete Mathematics : журнал. — 1988. — Vol. 70. — P. 71–75. — doi:10.1016/0012-365X(88)90081-7.
  • Glenn C. Rhoads. Planar tilings by polyominoes, polyhexes, and polyiamonds // Journal of Computational and Applied Mathematics : журнал. — 2005. — Vol. 174. — P. 329–353. — doi:10.1016/j.cam.2004.05.002.