Площадь фигуры

Площадь плоской фигуры — аддитивная числовая характеристика фигуры, целиком принадлежащей одной плоскости. В простейшем случае, когда фигуру можно разбить на конечное множество единичных квадратов, площадь равна числу квадратов.

Об определении

Формальное введение понятия площадь и объём можно найти в статье мера Жордана, здесь мы приводим лишь намётки определения с комментариями.

Площадь — это вещественнозначная функция, определённая на определённом классе фигур евклидовой плоскости и удовлетворяющая четырём условиям:

1. Положительность — площадь неотрицательна;
2. Нормировка — квадрат со стороной единица имеет площадь 1;
3. Конгруэнтность — конгруэнтные фигуры имеют равную площадь;
4. Аддитивность — площадь объединения двух фигур без общих внутренних точек равна сумме площадей.

При этом определённый класс должен быть замкнут относительно пересечения и объединения, а также относительно движений плоскости и включать в себя все многоугольники. Из этих аксиом следует монотонность площади, то есть

• Если одна фигура принадлежит другой фигуре, то площадь первой не превосходит площади второй:

Чаще всего за «определённый класс» берут множество квадрируемых фигур. Фигура ${\displaystyle F}$ называется квадрируемой, если для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ существует пара многоугольников ${\displaystyle P}$ и ${\displaystyle Q}$, такие что ${\displaystyle P\subset F\subset Q}$ и ${\displaystyle S(Q)-S(P)<\varepsilon }$, где ${\displaystyle S(P)}$ обозначает площадь ${\displaystyle P}$.

Примеры квадрируемых фигур:

• многоугольники;
• любая фигура, ограниченная спрямляемой кривой, в частности круг;
• фигура, ограниченная снежинкой Коха, хотя её граница не спрямляема.

Связанные определения

• Две фигуры называются равновеликими, если они имеют равную площадь.

Комментарии

• Существует математически строгий, но неоднозначный способ определить площадь для всех ограниченных подмножеств плоскости. То есть на множестве всех ограниченных подмножеств плоскости существуют различные функции площади, удовлетворяющие вышеприведённым аксиомам, а множество квадрируемых фигур является максимальным множеством фигур, на которых площадь определяется однозначно.
  • То же самое можно сделать для длины на прямой, но нельзя для объёма в евклидовом пространстве и также нельзя для площади на единичной сфере в евклидовом пространстве (смотри соответственно парадокс удвоения шара и парадокс Хаусдорфа).

Формулы

Фигура	Формула	Комментарий
Правильный треугольник	${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {3}}{4}}{\cdot }a^{2}}$	${\displaystyle a}$ — длина стороны треугольника.
Треугольник	${\displaystyle {\sqrt {p{\cdot }(p-a){\cdot }(p-b){\cdot }(p-c)}}}$	Формула Герона. ${\displaystyle p}$ — полупериметр, ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ и ${\displaystyle c}$ — длины сторон треугольника.
Треугольник	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\cdot }a{\cdot }b{\cdot }\sin \gamma }$	${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ — две стороны треугольника, а ${\displaystyle \gamma }$ — угол между ними.
Треугольник	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\cdot }b{\cdot }h}$	${\displaystyle b}$ и ${\displaystyle h}$ — сторона треугольника и высота, проведённая к этой стороне.
Квадрат	${\displaystyle a^{2}}$	${\displaystyle a}$ — длина стороны квадрата.
Прямоугольник	${\displaystyle a{\cdot }b}$	${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ — длины сторон прямоугольника.
Ромб	${\displaystyle a^{2}{\cdot }\sin \alpha ,{\tfrac {1}{2}}bc}$	${\displaystyle a}$ — сторона ромба, ${\displaystyle \alpha }$ — внутренний угол, ${\displaystyle b,c}$ — диагонали.
Параллелограмм	${\displaystyle b{\cdot }h}$	${\displaystyle b}$ — длина одной из сторон параллелограмма, а ${\displaystyle h}$ — высота, проведённая к этой стороне.
Трапеция	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\cdot }(a+b){\cdot }h}$	${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ — длины параллельных сторон, а ${\displaystyle h}$ — расстояние между ними (высота).
Четырёхугольник	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\cdot }m{\cdot }n{\cdot }\sin \phi }$	${\displaystyle n}$ и ${\displaystyle m}$ — длины диагоналей, и ${\displaystyle \phi }$ — угол между ними.
Правильный шестиугольник	${\displaystyle {\tfrac {3{\cdot }{\sqrt {3}}}{2}}{\cdot }a^{2}}$	${\displaystyle a}$ — длина стороны шестиугольника.
Правильный восьмиугольник	${\displaystyle 2{\cdot }(1+{\sqrt {2}}){\cdot }a^{2}}$	${\displaystyle a}$ — длина стороны восьмиугольника.
Правильный многоугольник	${\displaystyle {\frac {n{\cdot }a^{2}}{4{\cdot }\tan(\pi /n)}}}$	${\displaystyle a}$ — длина стороны многоугольника, а ${\displaystyle n}$ — количество сторон многоугольника.
	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\cdot }a{\cdot }p}$	${\displaystyle a}$ — апофема (или радиус вписанной в многоугольник окружности), а ${\displaystyle p}$ — периметр многоугольника.
Произвольный многоугольник	${\displaystyle {1 \over 2}\left|\sum _{i=0}^{n-1}\det {\begin{pmatrix}x_{i}&x_{i+1}\\y_{i}&y_{i+1}\end{pmatrix}}\right|}$	Формула площади Гаусса. ${\displaystyle (x_{i},y_{i})}$ — координаты вершин ${\displaystyle n}$-угольника, ${\displaystyle (x_{n},y_{n})=(x_{0},y_{0})}$
Круг	${\displaystyle \pi {\cdot }r^{2}}$ или ${\displaystyle {\frac {\pi {\cdot }d^{2}}{4}}}$	${\displaystyle r}$ — радиус окружности, а ${\displaystyle d}$ — её диаметр.
Сектор круга	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\cdot }r^{2}{\cdot }\theta }$	${\displaystyle r}$ и ${\displaystyle \theta }$ — соответственно радиус и угол сектора (в радианах).
Эллипс	${\displaystyle \pi {\cdot }a{\cdot }b}$	${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ — большая и малая полуоси эллипса.

См. также

• Исчезновение клетки
• Мера Бореля
• Мера Жордана
• Мера Лебега
• Ориентированная площадь
• Площадь
• Площадь поверхности
• Теорема Бойяи — Гервина о равносоставленности равновеликих многоугольников
• Треугольник о площадях треугольников
• Четырехугольник о площадях четырехугольников

Литература

• В. Болтянский, О понятиях площади и объёма. Архивная копия от 5 мая 2017 на Wayback Machine Квант, № 5, 1977
• Б. П. Гейдман, Площади многоугольников Архивная копия от 10 июня 2017 на Wayback Machine, Библиотека «Математическое просвещение», выпуск 16, (2002).
• §§ 244—276 в А. П. Киселёв. "Геометрия по Киселёву". arXiv:1806.06942 [math.HO].
• Мерзон Г. А., Ященко И. В. Длина, площадь, объем. — МЦНМО, 2011. — ISBN 9785940577409.
• В. А. Рохлин, Площадь и объём Архивная копия от 11 апреля 2021 на Wayback Machine, Энциклопедия элементарной математики, Книга 5, Геометрия, под редакцией П. С. Александрова, А. И. Маркушевича и А. Я. Хинчина.