Плотный порядок

Плотный порядок — это отношение между элементами множеств в частичном или линейном порядке (обозначим его <) на множестве X, когда для всех x и y из X, для которых выполняется x < y, существует элемент z в X, такой что x < z < y. Иными словами, порядок называют плотным, когда нет соседних элементов. Поскольку между любыми двумя элементами плотного порядка есть ещё хотя бы один, любой отрезок плотного порядка бесконечен[1].

Пример

Плотным упорядоченным множеством являются вещественные числа и рациональные числа с обычным порядком. С другой стороны, обычный порядок целых чисел плотным не является.

Единственность

Георг Кантор доказал^[англ.], что два любых плотных линейно упорядоченных счётных множества без нижней и верхней границ изоморфны относительно упорядочения^[англ.][2]. В частности, существует изоморфизм с сохранением порядка между рациональными числами и другими плотными счётными множествами, включая двоично-рациональные числа и алгебраические числа. В методе подбора^[англ.][3] используется доказательство этого результата.

Функция Минковского может быть использована для определения изоморфизмов порядка между квадратичными алгебраическими числами и рациональными числами, а также между рациональными числами и двоично-рациональными числами.

Обобщения

Бинарное отношение R считается плотным, если для всех связанных отношением R x и y, имеется z, такое что x и z, а также z и y связаны отношением R. Формально:

${\displaystyle \forall x\ \forall y\ xRy\Rightarrow (\exists z\ xRz\land zRy).}$

В терминах суперпозиции отношений^[англ.] R с собой, условие плотности может быть альтернативно выражено как ${\displaystyle R\subseteq RR}$[4].

Достаточными условиями к тому, что бинарное отношение R на множестве X будет иметь плотный порядок, являются случаи когда:

• R рефлексивно;
• R корефлексивно;
• R квазирефлексивно;
• R лево- или право-евклидово;
• R симметрично и полуконнексно^[англ.] и X имеет ${\displaystyle \geqslant 3}$ элементов.

Ни одно из них не является необходимым. Непустое плотное отношение не может быть антитранзитивным.

Строго частичный порядок < является плотным порядком тогда и только тогда, когда < является плотным отношением. Плотное отношение является идемпотентным отношением^[англ.], когда оно также транзитивно.

См. также

• Плотное множество
• Плотное в себе подмножество^[англ.]
• Семантика Крипке — плотное отношение достижимости, которое соответствует аксиоме ${\displaystyle \Box \Box A\rightarrow \Box A}$

Примечания

1. Лекция 5: упорядоченные множества (рус.). Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук (2015). Дата обращения: 16 февраля 2021. Архивировано 1 ноября 2019 года.
2. Roitman, 1990, с. 123.
3. Dasgupta, 2013, с. 161.
4. Schmidt, 2011, с. 212.

Литература

• Judith Roitman. Theorem 27, p. 123 // Introduction to Modern Set Theory. — John Wiley & Sons, 1990. — Т. 8. — (Pure and Applied Mathematics). — ISBN 9780471635192.
• Abhijit Dasgupta. Set Theory: With an Introduction to Real Point Sets. — Springer-Verlag, 2013. — ISBN 9781461488545.
• Gunter Schmidt. Relational Mathematics. — Cambridge University Press, 2011. — ISBN 978-0-521-76268-7.

Литература для дальнейшего чтения

• David Harel, Dexter Kozen, Jerzy Tiuryn. Dynamic logic. — MIT Press, 2000. — С. 6ff. — ISBN 0-262-08289-6.