Парадокс Мириманова

Парадокс Мириманова (парадокс класса всех фундированных классов) — парадокс наивной теории множеств, являющийся обобщением парадокса Бурали-Форти[1]. Назван именем математика Дмитрия Мириманова.

Формулировка

Множество ${\displaystyle B}$ называется фундированным, если не существует такой бесконечной последовательности множеств ${\displaystyle B_{n}}$, что

${\displaystyle \ldots \in B_{n}\in \ldots \in B_{2}\in B_{1}\in B.}$

Элементы в последовательности могут повторяться. Термин происходит от англ. well-founded.

Рассмотрим множество всех нефундированных множеств ${\displaystyle A}$ (оно существует по принципу свёртывания). Парадокс обнаруживается при попытке ответить на вопрос: является ли оно фундированным или нет?

Предположим, что ${\displaystyle A}$ — фундированно. Возьмём некоторый элемент ${\displaystyle B}$ из ${\displaystyle A}$ (это возможно: ${\displaystyle A}$ непусто потому что как минимум множество всех подмножеств там есть). Тогда, так как оно нефундировано, для него есть последовательность

${\displaystyle \dots \in B_{2}\in B_{1}\in B.}$

В итоге

${\displaystyle \dots \in B_{2}\in B_{1}\in B\in A.}$

Предположим, что ${\displaystyle A}$ — нефундированно. Тогда ${\displaystyle A\notin A}$ и, следовательно, фундированно.[2].

Примечания

1. Cantini, 2012.
2. Чечулин, 2010.

Литература

• Shen Yuting. Paradox of the Class of All Grounded Classes // J. Symb. Log.. — 1953. — Т. 18, № 2. — С. 114. (Реферат в РЖ Математика, 1954 г, № 5027, референт Кузнецов А. В.)
• Forster, Thomas and Libert, Thierry. An Order-Theoretic Account of Some Set-Theoretic Paradoxes (англ.) // Notre Dame journal of formal logic. — 2011. — Vol. 52, no. 1. — P. 1—19.
• Чечулин В. Л. Теория множеств с самопринадлежностью (основания и некоторые приложения). — Пермь: Пермский государственный университет, 2010. — 100 с. — (Монография). — ISBN 978-5-7944-1468-4.
• Mirimanoff, D. Les antinomies de Russell et de Burali-Forti et le problème fondamentale de la théorie des ensembles (фр.) // L'Enseignement Mathématique. — 1917. — Vol. 19. — P. 37—52. — doi:10.5169/seals-17315.

Ссылки

• Cantini, Andrea. Paradoxes and Contemporary Logic. — 2012.