Ортоцентроидная окружность

Треугольник (черный), его ортоцентр (голубой), его центроид (красный) и его ортоцентроидный круг (желтый)

Ортоцентроидная окружность неравностороннего треугольника — это окружность, построенная на отрезке, соединяющем его ортоцентр и центроид, как на диаметре. Этот диаметр также содержит центр описанной окружности и центр окружности девяти точек треугольника и является частью прямой Эйлера.

Гвинанд (Guinand) в 1984 г. показал, что инцентр треугольника должен лежать внутри ортоцентроидной окружности, но не совпадать с центром девяти точек; то есть он должен попадать в открытый ортоцентроидный диск с вырезанным внутри центром девяти точек[1][2][3][4] [5]:pp. 451–452.

Более того[2], точка Ферма, точка Жергонна и точка Лемуана лежат в открытом ортоцентроидном диске с вырезанным внутри своим собственным центром (и могут быть в любой точке внутри него), тогда как вторая точка Ферма находится снаружи ортоцентроидного круга (и также может быть в любой точке снаружи). Возможные положения первой и второй точек Брокара также находятся в открытом ортоцентроидном диске[6].

Квадрат диаметра ортоцентроидной окружности равен[7]:p.102 ${\displaystyle D^{2}-{\tfrac {4}{9}}(a^{2}+b^{2}+c^{2}),}$ где a, b и c — длины сторон треугольника, D — диаметр описанной окружности.

Примечания

1. Guinand, Andrew P. (1984), "Euler lines, tritangent centers, and their triangles", American Mathematical Monthly, 91 (5): 290–300, JSTOR 2322671.
2. Bradley, Christopher J.; Smith, Geoff C. (2006), "The locations of triangle centers", Forum Geometricorum, 6: 57–70, Архивировано из оригинала 4 марта 2016, Дата обращения: 28 декабря 2015.
3. Stern, Joseph (2007), "Euler's triangle determination problem" (PDF), Forum Geometricorum, 7: 1–9, Архивировано из оригинала (PDF) 26 октября 2021, Дата обращения: 28 декабря 2015.
4. Franzsen, William N. (2011), "The distance from the incenter to the Euler line", Forum Geometricorum, 11: 231–236, Архивировано из оригинала 22 октября 2021, Дата обращения: 28 декабря 2015.
5. Leversha, Gerry; Smith, G. C. (November 2007), "Euler and triangle geometry", Mathematical Gazette, 91 (522): 436–452, JSTOR 40378417.
6. Bradley, Christopher J.; Smith, Geoff C. (2006), "The locations of the Brocard points", Forum Geometricorum, 6: 71–77, Архивировано из оригинала 4 марта 2016, Дата обращения: 28 декабря 2015.
7. Altshiller-Court, Nathan, College Geometry, Dover Publications, 2007 (orig. Barnes & Noble 1952).