Ограничение Вейля

Ограничение скаляров (известное также как «ограничение Вейля») — это функтор, который для любого конечного расширения поля L/k и любого алгебраического многообразия X над L даёт другое многообразие Res_L/kX, определённое над k. Ограничение скаляров полезно для сведения вопросов о многообразиях над большими полями к вопросам о более сложных многообразиях над меньшими полями.

Определение

Пусть L/k будет конечным расширением поля, а X — многообразием, определённым над L. Функтор ${\displaystyle \mathrm {Res} _{L/k}X}$ из k-схем^op в множества определяется выражением

${\displaystyle \mathrm {Res} _{L/k}X(S)=X(S\times _{k}L)}$

(В частности, k-рациональные точки многообразия ${\displaystyle \mathrm {Res} _{L/k}X}$ являются L-рациональными точками многообразия X.) Многообразие, которое представляет этот функтор, называется ограничением скаляров и оно единственно с точностью до изоморфизма, если существует.

С точки зрения пучков множеств ограничение скаляров является просто дифференциалом вдоль морфизма Spec L ${\displaystyle \to }$ Spec k и сопряжёно справа расслоенному произведению схем^[англ.], так что вышеприведённое определение можно перефразировать в более общем виде. В частности, можно заменить расширения поля на любой морфизм окольцованных топосов, а предположение о X может быть ослаблено, к примеру, до стеков. Это приводит к более слабому контролю над поведением ограничения скаляров.

Свойства

Для любого конечного расширения поля ограничение скаляров переводит квазипроективное многообразие в квазипроективное многообразие. Размерность получаемого многообразия умножается на степень расширения.

При подходящих условиях (например, плоский, собственный, конечно определённый), любой морфизм ${\displaystyle T\to S}$ алгебраических пространств^[англ.] даёт функтор ограничения скаляров, который переводит алгебраические стеки^[англ.] в алгебраические стеки, сохраняя такие свойства, как стек Артина, стек Делиня — Мамфорда и представимость.

Примеры и приложения

1) Пусть L — конечное расширение поля k степени s. Тогда ${\displaystyle \mathrm {Res} _{L/k}}$(Spec L) = Spec(k) и ${\displaystyle Res_{L/k}\mathbb {A} ^{1}}$ является s-мерным аффинным пространством ${\displaystyle \mathbb {A} ^{s}}$ над Spec k.

2) Если X является аффинным L-многообразием, определённым выражением

${\displaystyle X={\text{Spec}}L[x_{1},\dots ,x_{n}]/(f_{1},\dots ,f_{m})}$

мы можем записать ${\displaystyle \mathrm {Res} _{L/k}X}$ как Spec ${\displaystyle k[y_{i,j}]/(g_{l,r})}$, где y_i,j (${\displaystyle 1\leq i\leq n,1\leq j\leq s}$) новые переменные, а g_l,r (${\displaystyle 1\leq l\leq m,1\leq r\leq s}$) является многочленом от ${\displaystyle y_{i,j}}$ получаемый выбором k-базиса ${\displaystyle e_{1},\dots ,e_{s}}$ расширения L и полагая ${\displaystyle x_{i}=y_{i,1}e_{1}+\dots +y_{i,s}e_{s}}$ и ${\displaystyle f_{t}=g_{t,1}e_{1}+\dots +g_{t,s}e_{s}}$.

3) Ограничение скаляров над конечным расширением поля переводит групповые схемы^[англ.] в групповые схемы.

В частности:

4) Тор

${\displaystyle \mathbb {S} :=\mathrm {Res} _{\mathbb {C} /\mathbb {R} }\mathbb {G} _{m}}$,

где G_m означает мультипликативную группу, играет существенную роль в теории Ходжа, поскольку таннакиева категория^[англ.] вещественных структур Ходжа эквивалентен категории представлений S. Вещественные точки имеют структуру группы Ли, изоморфную ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }}$. См. Группа Мамфорда–Тейта^[англ.].

5) Ограничение Вейля ${\displaystyle \mathrm {Res} _{L/k}\mathbb {G} }$ (коммутативного) группового многообразия ${\displaystyle \mathbb {G} }$ снова является (коммутативным) групповым многообразием размерности ${\displaystyle [L:k]\dim \mathbb {G} }$, если L сепарабельно над k. Александр Момот применил ограничения Вейля коммутативных групповых многообразий с ${\displaystyle k=\mathbb {R} }$ и ${\displaystyle L=\mathbb {C} }$ с целью получить новые результаты в теории трансцендентности, которая основывалась на увеличении алгебраической размерности.

6) Ограничение скаляров на абелевых многообразиях (например, эллиптических кривых) дают абелевы многообразия, если L сепарабельно над k. Джеймс Миль использовал это для сведения гипотезы Бёрча — Свиннертон-Дайера над абелевыми многообразиями над всеми числовыми полями к той же гипотезе над рациональными числами.

7) В эллиптической криптографии спуск Вейля использует ограничение Вейля для преобразования задачи дискретного логарифмирования на эллиптической кривой над конечным расширением поля L/K в задачу дискретного логарифмирования на многообразии Якоби^[англ.] гиперболической кривой^[англ.] над базовым полем K, которую потенциально решить легче ввиду меньшего размера поля K.

Построения Вейля по сравнению с преобразованиями Гринберга

Ограничение скаляров аналогично преобразованию Гринберга, но не обобщает его, поскольку кольцо векторов Витта на коммутативной алгебре A в общем случае не является A-алгеброй.

Примечания

Литература

• Andre Weil. Adeles and Algebraic Groups. — Birkhäuser, 1982. — Т. 23. — (Progress in Math). Заметки к лекциям, прочитанным в 1959-1960 годах.
  • Вейль А. АДЕЛИ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ГРУППЫ // Математика. — 1964. — Т. 8, вып. 4. — С. 3-74.
• Siegfried Bosch, Werner Lütkebohmert, Michel Raynaud. Néron models. — Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag, 1990. — Т. 21. — (Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzbiete). — ISBN 3-540-50587-3. — ISBN 0-387-50587-3.
• James S. Milne. On the arithmetic of abelian varieties // Invent. Math. — 1972. — Вып. 17. — С. 177-190.
• Martin Olsson. Hom stacks and restriction of scalars // Duke Math J.. — 2006. — Вып. 134. — С. 139–164.
• Bjorn Poonen. Rational points on varieties. — American Mathematical Society, 2017. — Т. 186. — (Graduate Studies in Mathematics). — ISBN 978-1-4704-3773-2.
• Aleksander Lech Momot. Density of rational points on commutative group varieties and small transcendence degree. — 2010.