Обсуждение:Тригонометрические функции/Архив/2021

Кстати...

Когда уже принцип отказа от иррациональности в знаменателе будет заменен на принцип несократимости? Например, разве писать sqrt(2)/2 проще, чем 1/sqrt(2)?!
— Эта реплика добавлена с IP 93.76.52.77 (о) 14:07, 22 декабря 2020 (UTC)[ответить]

• Я вас в некоторой степени понимаю и сама переживала из-за этой «несправедливости». Но давайте я вам кое-что объясню по этому поводу. Вот есть алгебраические числа второй степени (то есть числа, которые могут быть корнем уравнения второй степени с рациональными коэффициентами и ненулевым старшим) — например, ${\displaystyle {\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{4}}}$ (косинус 18 градусов) или то самое число ${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {2}}{2}},}$ которое вы привели в пример. И дело в том, что в обычных микрокалькуляторах если попытаться приблизительно вычислить значения таких чисел, то намного проще это сделать именно после рационализации знаменателя. И вот взяли и рационализовали знаменатель, представив число в виде ${\displaystyle {\tfrac {a\pm {\sqrt {b}}}{c}},}$ где a, b, c — целые числа. Что дальше? А дальше в калькуляторе:

• вводят число b;
• жмут знак квадратного корня;
• потом в зависимости от знака плюс-минуса перед ${\displaystyle {\sqrt {b}}}$ жмут кнопку «±»;
• затем прибавляют a;
• делят на c.

По крайней мере о таком подходе я узнала из учебника алгебры 8 класса (Макарычева, Миндюка, Нешкова). А если упрямо отказываться от рационализации знаменателя, то посчитать значение такого числа на микрокалькуляторе будет проблематчно.

Mylania⁽^-^⁾ (talk^❤, contr.^❤) 05:52, 6 июня 2021 (UTC)[ответить]

• Но если рассматривать алгебраические числа более высоких степеней, а в них радикалы уже накладываются друг на друга и после этого складываются, то тут рационализацию знаменателя действительно никакими микрокалькуляторами нельзя оправдать. Например, секанс угла τ/7 является алгебраическим числом третьей степени и равняется

${\displaystyle {\frac {1}{\cos {\frac {\tau }{7}}}}={\frac {6}{-1+{\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}(7+21{\sqrt {3}}i)}}+{\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}(7-21{\sqrt {3}}i)}}}},}$

а после избавления знаменателя от иррациональности:

${\displaystyle {\frac {2}{3}}{\Big [}{-}2+{\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}(-7+21{\sqrt {3}}i)}}+{\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}(-7-21{\sqrt {3}}i)}}{\Big ]}.}$

Причём, по моему мнению, среди этих двух выражений намного лучше именно первое выражение, в знаменателе где находится иррациональность. Дело в том, что число ${\displaystyle -1+{\sqrt[{3}]{{\tfrac {1}{2}}(7+21{\sqrt {3}}i)}}+{\sqrt[{3}]{{\tfrac {1}{2}}(7-21{\sqrt {3}}i)}}}$ имеет больший модуль, чем число ${\displaystyle -2+{\sqrt[{3}]{{\tfrac {1}{2}}(-7+21{\sqrt {3}}i)}}+{\sqrt[{3}]{{\tfrac {1}{2}}(-7-21{\sqrt {3}}i)}},}$ а значит, погрешность от него будет влиять на итоговое число намного хуже, чем от последнего.

Mylania⁽^-^⁾ (talk^❤, contr.^❤) 05:52, 6 июня 2021 (UTC)[ответить]

И, пожалуйста, подписывайте свои сообщения четырьмя тильдами =^=