Неассоциативная алгебра

Неассоциативная алгебра — алгебра над полем, в которой операция бинарного умножения не предполагается ассоциативной. Например, неассоциативны алгебры Ли (в общем случае), йордановы алгебры, алгебра октонионов и трёхмерное евклидово пространство, снабжённое операцией векторного произведения.

Неассоциативные алгебры могут обладать единицей, такова, например, алгебра октонионов, при этом в алгебрах Ли единица невозможна.

Структуру неассоциативной алгебры ${\displaystyle A}$ над полем ${\displaystyle K}$ можно изучить, связав её с другими ассоциативными алгебрами, которые являются подалгебрами полной алгебры ${\displaystyle K}$-эндоморфизмов ${\displaystyle A}$ как ${\displaystyle K}$-векторного пространства. Две из них — это алгебра дифференцирований и (ассоциативная) универсальная обёртывающая алгебра, причём последняя в некотором смысле является наименьшей ассоциативной алгеброй, содержащей ${\displaystyle A}$.

Основные результаты распространяются и на неассоциативные алгебры над коммутативным кольцом с единицей[1]. Если структура подчиняется всем аксиомам кольца, кроме ассоциативности (например, любая R-алгебра), то она, естественно, является ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-алгеброй, поэтому некоторые авторы называют неассоциативную ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-алгебру неассоциативным кольцом.

Кольцевые структуры с двумя бинарными операциями и без других ограничений представляют собой широкий класс, слишком общий для изучения. По этой причине наиболее известные виды неассоциативных алгебр удовлетворяют тождествам или свойствам, которые накладывают ограничения на умножение.

Примечания

1. Schafer, 1995, p. 1.

Ссылки

• Schafer R. D. An Introduction to Nonassociative Algebras. — Dover, 1995. — ISBN 0-486-68813-5.