Начала заниматься фигурным катанием на катке «Буревестник», первым тренером её был И. И. Богоявленский. С середины 1950-х участвовала в крупных состязаниях.
С юности ей были свойственны фантазия и творческий подход к фигурному катанию. Впервые в мире придумала и исполнила в 1960[1] (по другим данным ещё в 1955, сохранилась видеозапись вращения 1961 года[2]) году вращение-заклон с захватом ноги обеими руками над головой (названное в конце 1970-х «бильманн»)[1][3], которое и сегодня остаётся самым сложным из всех вращений.
В 1962—1963 годах на чемпионатах Европы занимает предпоследние места (на чемпионат мира спортивное руководство посылает не участвовавшую в чемпионате страны Татьяну Немцову, которая также занимает предпоследние места, а в 1964 руководство решило вообще не отправлять одиночниц на чемпионаты Европы и мира).
В 1967 году впервые попадает в сборную. На чемпионате Европы 1967 году пара заняла 6-е место из-за падения Москвиной. Самым удачным стал сезон 1968/1969 — когда пара выиграла чемпионат СССР, была третьей на чемпионате Европы и второй на чемпионате мира. После чего Москвина окончательно перешла на тренерскую работу.
С 1962 года занимается тренерской работой в обществах «Буревестник» и «Труд», а с 1971 года — тренер Специализированной детско-юношеской школы Олимпийского резерва. Всю карьеру работает в различных школах фигурного катания в Санкт-Петербурге, с 2017 года в своей собственной школе, где является руководителем и одним из тренеров парного катания. Тамара Николаевна — самый успешный тренер в парном катании в мире, к 2021 году её пары завоевали 63 медали чемпионатов Европы, мира и Олимпийских игр.
18 декабря 2014 года открылась Государственная специализированная детско-юношеская спортивная школа Олимпийского резерва «Звёздный лед». Эта школа создавалась для тренеров Тамары Москвиной и Алексея Мишина.
В марте 2017 года[21] в Санкт-Петербурге открылась автономная некоммерческая организация «Спортивный клуб фигурного катания Тамары Москвиной»[22], после чего Москвина ушла из школы «Звёздный лед» и полностью сосредоточилась на работе в новой школе. Бывший ученик Москвиной Антон Сихарулидзе был автором идеи и активно участвовал в её реализации[21].
Главным приоритетом школы является парное катание. В частности, в школе работают Олимпийский чемпион и заслуженный тренер России Олег Васильев, приводивший пару Татьяна Тотьмянина — Максим Маринин к победе на Олимпиаде в Турине, молодой и перспективный тренер Артур Минчук, опытный хореограф Александр Стёпин, работавший с чемпионами мира Марией Петровой — Алексеем Тихоновым и другими известными парами. Для работы над программами приглашаются такие постановщики, как Петр Чернышёв, Наталья Бестемьянова, Игорь Бобрин, Николай Морозов, некоторые из которых работают и с группой одиночного катания школы. Спустя всего полтора года после образования школы пришли первые успехи на крупных турнирах международного уровня — сначала Алиса Ефимова — Александр Коровин (тренеры Васильев, Москвина), затем юные Александра Бойкова — Дмитрий Козловский (тренеры Минчук, Москвина) стали призёрами этапов Гран-При сезона 2018—2019. В декабре 2018 года пара Бойкова — Козловский выиграла бронзовые медали на Чемпионате России и была включена в состав сборной на Чемпионат Европы 2019[23]. 24 января 2019 года Бойкова — Козловский стали бронзовыми призёрами Чемпионата Европы[17]. 19-летний Дмитрий Козловский стал самым молодым медалистом Чемпионата Европы в парном катании с 1986 года, когда серебро выиграл 18-летний Сергей Гриньков в паре с Екатериной Гордеевой[24]. C 2019 года в группе Васильева в качестве тренера работает Оксана Казакова, а в группе Минчука — Елена Бережная[25]. Обе являются бывшими ученицами Тамары Москвиной, выигрывавшими под её руководством золото Олимпийских игр. В 2020 году школу Москвиной покинул Олег Васильев, ставший главным тренером сборной Беларуси[26]. С сезона 2022—2023 к работе в школе Москвиной начал привлекаться ее бывший ученик Александр Смирнов, также тренирующий одиночников в своей школе «Мастер»[27].
Весной 2018 года началось сотрудничество школы Москвиной и пермской школы парного катания, известной качественной работой с детьми и юниорами. В пермской школе работают тренеры Валентина Тюкова и Валерий Тюков, несколько лет работавшие с будущим Олимпийским чемпионом Максимом Траньковым после его перехода в парное катание в возрасте 9 лет[28], а также их бывший ученик Павел Слюсаренко. Подопечные Тюковых и Слюсаренко приезжали в Санкт-Петербург и работают с тренерами школы Москвиной, группы двух школ проводили совместные сборы, тренеры обменивались опытом. Некоторые пары из Перми, например, призёры этапов юниорского Гран-При Анастасия Полуянова — Дмитрий Сопот, с 2018 года регулярно тренировались в Санкт-Петербурге и представляли на соревнованиях две школы и два региона. В 2019 году сотрудничество было прекращено.[29]
Несмотря на приоритет парного катания, немало внимания в школе уделяется и одиночному. Главным тренером группы одиночного катания является Вероника Дайнеко, тренер высшей категории и судья Всероссийской категории[30]. Вместе с ней до 2019 года работали молодые помощники — тренер Владислав Сезганов[англ.], в 2013 году ставший первым фигуристом из Европы, исполнившим четвёрной лутц, а также тренер, хореограф и технический специалист Александра Панфилова[31]. В декабре 2018 года их ученик 16-летний Пётр Гуменник[32] стал призёром Финала Гран-При среди юниоров[33], попав в финал после двух побед на этапах юниорского Гран-При. На этапе в Канаде в произвольной программе Гуменник чисто исполнил редкий и сложный каскад из тройного акселя и тройного риттбергера[34], первым и единственным исполнителем которого до Гуменника был Александр Абт в 1998 году[35]. С 2019 года тренерская команда Дайнеко состоит из других молодых специалистов — Александра Устинова, Дмитрия Хромина и Николая Морошкина[36]. Позже Устинов ушёл в школу «Звездный лед»[37]. По состоянию на сезон 2024—2025 в школе Москвиной функционируют две группы одиночного катания — Дмитрия Хромина и Вероники Дайнеко. С обеими группами работает хореограф Николай Морошкин, Тамара Москвина является консультантом[38][39].
В сезоне 2024—2025 школу Тамары Москвиной представляют следующие фигуристы:
Николай Угожаев (тренер Дмитрий Хромин, хореограф Николай Морошкин) — победитель этапа Гран-при России (2024)[41];
София Диана Касинс — Александр Брегей (тренеры Александр Смирнов, Артур Минчук, хореограф Николай Морошкин) — победители этапа Гран-при России среди юниоров (2024)[42], серебряные призеры Первенства России среди юношей и девушек (старший возраст)[43];
Анна Москалёва — Артём Родзянов (тренеры Артур Минчук, Александр Смирнов, хореограф Николай Морошкин) — серебряные призеры этапа Гран-при России среди юниоров (2024)[44];
Альбина Камалдинова — Дмитрий Родионов (тренеры Александр Смирнов, Артур Минчук, хореограф Николай Морошкин) — серебряные призеры финала Кубка Федерации Санкт-Петербурга[45] (2024) участники этапов Гран-при России среди юниоров;
Дарья Третьякова — Александр Саморуков (тренеры Александр Смирнов, Артур Минчук, хореограф Николай Морошкин) — участники финала Кубка Федерации Санкт-Петербурга[45];
Данил Колосков (тренер Вероника Дайнеко, хореограф Николай Морошкин) — участник этапов Гран-при России среди юниоров;
Константин Волков (тренер Дмитрий Хромин, хореограф Николай Морошкин);
7 декабря 2024 года Тамара Москвина в возрасте 83 лет выступила на торжественном открытии открытого ледового катка в Санкт-Петербурге с танцем на льду под музыку «Вечерней песни» Василия Соловьёва-Седого[46].
