Монотонность следствия

Монотонность следствия — свойство многих формальных систем, согласно которому, если из множества высказываний дедуктивно выводится определённое суждение, то оно также следует и из любого супермножества данных высказываний. Следствием, является вывод, о том, что если данный аргумент дедуктивно общезначим, то при добавлении дополнительных посылок, его невозможно сделать ложным[1][2].

Логические системы, обладающие подобным свойством, называются монотонными логиками, поскольку они отличаются от немонотонных логик.

Классическая логика и интуиционистская логика являются примерами монотонных логик.

Правило ослабления

Формально, монотонность может быть выражена, в виде правила, называемого ослаблением. Система является монотонной тогда и только тогда, когда это правило допустимо^[англ.].

Правило ослабления может быть выражено в виде последовательности натурального вывода:

${\displaystyle {\frac {\Gamma \vdash C}{\Gamma ,A\vdash C}}}$

Таким образом, можно сказать, что если на основе ряда предположений ${\displaystyle \Gamma }$ можно доказать C, то, добавив дополнительно предположение A, всё равно можно доказать C.

Пример

Следующий аргумент является верным:

• Все люди смертны. Сократ — человек. Поэтому Сократ смертен.

Его можно ослабить, добавив посылку:

• Все люди смертны. Сократ — мужчина. Коровы дают молоко. Поэтому Сократ смертен.

В силу свойства монотонности, аргумент остаётся истинным и с дополнительной посылкой, даже если эта посылка и не имеет отношения к заключению.

Немонотонная логика

Основная статья: Немонотонная логика

В большинстве видов логики, ослабление является либо правилом вывода, либо метатеоремой, если в логике нет явного правила. Заметными исключениями являются:

• Релевантная логика, в которой для вывода требуется соблюдение всех условий каждой посылки.
• Линейная логика, в которой отсутствуют монотонность и идемпотентность следствия.

См. также

• Идемпотентность следствия
• Структурные правила^[англ.]
• Субструктурная логика
• Теорема о запрете клонирования

Примечания

1. Hedman, p. 14.
2. Chiswell, p. 61.

Литература

• Hedman, Shawn. A First Course in Logic. — Oxford University Press, 2004.
• Chiswell, Ian. Mathematical Logic / Ian Chiswell, Wilfrid Hodges. — Oxford University Press, 2007.