Модулярная решётка

Модулярная решётка (дедекиндова решётка) — решётка, в которой каждая пара элементов ${\displaystyle a,b\in L}$ модулярна, то есть справедлив закон модулярности — квазитождество:

${\displaystyle \forall x\in L:x\leqslant b\Rightarrow x\vee (a\wedge b)=(x\vee a)\wedge b}$.

Важнейший пример модулярной решётки — решётка подпространств векторного пространства; также модулярны решётка нормальных подгрупп группы, решётка идеалов кольца.

Любая дистрибутивная решётка является модулярной, обратное неверно: ромб (диамант) — пример модулярной решётки, которая не является дистрибутивной.

${\displaystyle N_{5}}$ — наименьшая немодулярная решётка

Наименьшая немодулярная решётка — пятиэлементный пентагон ${\displaystyle N_{5}}$, любая немодулярная решётка содержит его в качестве подрешётки.

В модулярных решётках справедлива теорема об изоморфизмах интервалов: для любых двух элементов модулярной решётки ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ интервалы ${\displaystyle [a\wedge b,b]}$ и ${\displaystyle [a,a\vee b]}$ изоморфны, прямое отображение: ${\displaystyle \phi (x)=x\vee a}$, обратное — ${\displaystyle \psi (y)=y\wedge b}$.

Немодулярная решётка может содержать элементы, удовлетворяющие закону модулярности. Элемент ${\displaystyle a}$ называется левомодулярным, если для любого элемента ${\displaystyle b}$ пара ${\displaystyle a,b}$ модулярна.

Элемент ${\displaystyle b}$ называется правомодулярным, если для любого элемента ${\displaystyle a}$ пара ${\displaystyle a,b}$ модулярна.

Закон модулярности и некоторые его следствия впервые установлены Рихардом Дедекиндом в 1894 году.

Литература

• Дедекиндова решётка — статья из Математической энциклопедии. Л. А. Скорняков
• Салий В. Н., Скорняков Л. А. . Глава V. Решётки // Общая алгебра / Под общ. ред. Л. А. Скорнякова. — М.: Наука, 1991. — Т. 2. — С. 192—294. — 480 с. — (Справочная математическая библиотека). — 25 000 экз. — ISBN 5-9221-0400-4.
• Г. Гретцер. IV. Модулярные решётки // Общая теория решёток = General Lattice Theory / под редакцией Д. М. Смирнова. — М.: Мир, 1981. — С. 211—224. — 456 с.
• Биркгоф Г. Теория решёток. — М.: Наука, 1984. — 568 с.