Метод Эйлера — Паркера

Метод Эйлера — Паркера — метод построения ортогонального квадрата для заданного латинского квадрата порядка ${\displaystyle N}$. Предложен Паркером в 1959 году[1].

Метод

Пример диагонального латинского квадрата (а); множество его диагональных трансверсалей (б), элементы трансверсалей, лежащие на диагоналях, выделены серым; процесс построения ортогонального диагонального латинского квадрата из непересекающихся трансверсалей по методу Эйлера — Паркера (в).

Метод поиска состоит из трех шагов:

1. Построение множества трансверсалей заданного латинского квадрата.
2. Выбор из них подмножеств из ${\displaystyle N}$ непересекающихся трансверсалей.
3. Формирование ортогональных латинских квадратов из найденных подмножеств.

Построение трансверсалей и выбор непересекающихся подмножеств из них возможно реализовать с использованием метода полного перебора, однако более эффективной практической реализацией является полиномиальное сведение данных задач к задаче о точном покрытии^[англ.], для решения которой эффективным является применение алгоритма танцующих связей^[англ.] (DLX).

При поиске ортогональных диагональных латинских квадратов вместо трансверсалей общего вида используются диагональные трансверсали, в состав которых входит по одному элементу с главной и побочной диагонали квадрата.

Формирование ортогонального квадрата из найденного подмножества из ${\displaystyle N}$ непересекающихся трансверсалей производится путем заполнения каждой ${\displaystyle i}$-й трансверсали значением ${\displaystyle i}$ в формируемом ортогональном квадрате.

Историческая справка

Первая пара ортогональных латинских квадратов порядка 10, найденная Паркером в 1959 г.[1]

Леонардом Эйлером в ходе решения задачи о 36 офицерах была выдвинута гипотеза о том, что пары ортогональных латинских квадратов не существуют для всех размерностей ${\displaystyle N=4t+2}$. Верность гипотезы для размерности ${\displaystyle N=6}$ была подтверждена Томасом Клаузеном в 1842 году. Поиск контрпримера к гипотезе Эйлера был осуществлен в 1957 году Пейджем и Томпкинсом с использованием метода полного перебора на компьютере SWAC, однако он не увенчался успехом ввиду необходимости огромных вычислительных затрат. В 1959 году Паркером[1] было предложено построение ортогонального квадрата с использованием трансверсалей и компьютера UNIVAC и был найден контрпример к гипотезе Эйлера для порядка ${\displaystyle N=10}$. Аналогичный результат, опровергающий гипотезу Эйлера, был опубликован том же году в работе Бозе и Шринкхенде[2]. В 1992 году Брауном[3] описан диагональный латинский квадрат порядка 10, имеющий одновременно 4 ортогональных диагональных латинских квадрата, 3 из которых приведены в статье, а 4-й был найден О. Заикиным с использованием подхода на базе SAT. В настоящее время известны диагональные латинские квадраты порядка 10, имеющие 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 10 нормализованных ортогональных диагональных латинских квадратов (последовательность A287695 в OEIS). Они формируют 42 комбинаторных структуры (графа из диагональных латинских квадратов на множестве бинарного отношения ортогональности)[4]. Большая часть из них была найдена в проекте добровольных распределенных вычислений Gerasim@Home начиная с 2017 г. Вопросы о существовании диагональных латинских квадратов порядка 10 с большим числом нормализованных ортогональных латинских квадратов и о существовании клики мощностью более двух из попарно ортогональных латинских квадратов порядка 10 в настоящее время являются открытыми.

См. также

• Латинский квадрат
• Трансверсаль

Примечания

1. Parker E.T. Orthogonal Latin squares // Proc. Natl. Acad. Sci. USA. Vol. 45(6). 1959. pp. 859–862.
2. Bose R.C., Shrikhande S.S. On the falsity of Euler's conjecture about the non-existence of two orthogonal latin squares of order 4t + 2 // Proc Natl Acad Sci U S A. 1959 May; 45(5): 734–737.
3. Brown J.W., Cherry F., Most L., Most M., Parker E.T., Wallis W.D. Completion of the spectrum of orthogonal diagonal Latin squares // Lecture notes in pure and applied mathematics. 1992. Vol. 139. pp. 43–49.
4. Список комбинаторных структур из ДЛК порядка 10 на множестве отношения ортогональности  (неопр.). Дата обращения: 5 июня 2020. Архивировано 21 мая 2020 года.

Литература

• Кнут Д.Э. Искусство программирования. Т. 4А. Комбинаторные алгоритмы. Ч. 1. М.: Вильямс, 2013. 960 с.
• Colbourn C.J., Dinitz J.H. Handbook of Combinatorial Designs, Second Edition. Chapman & Hall/CRC, 2006. 1016 p.
• Keedwell A.D., Dénes J. Latin Squares and their Applications. Elsevier, 2015. 438 p. doi:10.1016/C2014-0-03412-0
• Vatutin E., Nikitina N., Belyshev A., Manzyuk M. On polynomial reduction of problems based on diagonal Latin squares to the exact cover problem // CEUR Workshop Proceedings. Proceedings of the Second International Conference Information, Computation, and Control Systems for Distributed Environments (ICCS-DE 2020). Vol. 2638. Technical University of Aachen, Germany, 2020. urn:nbn:de:0074-2638-1.