Малая теорема Фубини

Эта статья — о возможности почленного дифференцирования рядов функций. О сведении двойных интегралов к повторным см. теорема Тонелли — Фубини.

Малая теорема Фубини (теорема Фубини о дифференцировании) — утверждение, позволяющее почленно дифференцировать ряд монотонных функций: всюду сходящийся ряд монотонных (неубывающих) функций:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }F_{n}(x)=F(x)}$

почти всюду допускает почленное дифференцирование:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }F_{n}'(x)=F'(x)}$.

Установлена Гвидо Фубини. Доказательство следует из леммы Фату.

Результат допускает ряд обобщений. В частности, он распространяется на произвольные неотрицательные счётно-аддитивные функции (этот результат также фигурирует как малая теорема Фубини)[1]. Если же от ряда потребовать равномерной сходимости, то для выполнения почленной дифференцируемости почти всюду на функции никаких дополнительных условий не накладывается[2].

Примечания

1. Шилов — Гуревич, 1967, с. 216.
2. Рудин, 1976, с. 152.

Литература

• Шилов Г. Е., Гуревич Б. Л. Интеграл, мера и производная. — Наука, 1967. — 220 с.
• Rudin W. Principles of Mathematical Analysis. — McGraw-Hill, 1976.