Критерий Крамера — Мизеса — Смирнова

Классический непараметрический критерий согласия Крамера — Мизеса — Смирнова предназначен для проверки простых гипотез о принадлежности анализируемой выборки полностью известному закону, то есть для проверки гипотез вида ${\displaystyle H_{0}:F_{n}(x)=F(x,\theta )}$ с известным вектором параметров теоретического закона. В критерии ${\displaystyle \omega ^{2}}$ Крамера — Мизеса — Смирнова используется статистика вида

${\displaystyle S_{\omega }=n\omega _{n}^{2}={\frac {1}{12n}}+\sum _{i=1}^{n}\left(F(x_{i},\theta )-{\frac {2i-1}{2n}}\right)^{2}}$,

где ${\displaystyle n}$ — объем выборки, ${\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{n}}$ — упорядоченные по возрастанию элементы выборки.

При справедливости простой проверяемой гипотезы статистика критерия подчиняется распределению вида ${\displaystyle a1(S)}$ [1].

При проверке простых гипотез критерий является свободным от распределения, то есть не зависит от вида закона, с которым проверяется согласие.

Проверяемая гипотеза отклоняется при больших значениях статистики. Процентные точки распределения ${\displaystyle a1(S)}$ приведены в [1, 2].

Проверка сложных гипотез

При проверке сложных гипотез вида ${\displaystyle H_{0}:F_{n}(x)\in \left\{F(x,\theta ),\theta \in \Theta \right\}}$ , где оценка ${\displaystyle {\hat {\theta }}}$ скалярного или векторного параметра распределения ${\displaystyle F(x,\theta )}$ вычисляется по той же самой выборке, непараметрические критерии согласия теряют свойство свободы от распределения [3, 4].

При проверке сложных гипотез распределения статистик непараметрических критериев согласия зависят от ряда факторов: от вида наблюдаемого закона ${\displaystyle F(x,\theta )}$ , соответствующего справедливой проверяемой гипотезе ${\displaystyle H_{0}}$; от типа оцениваемого параметра и числа оцениваемых параметров; в некоторых случаях от конкретного значения параметра (например, в случае семейств гамма- и бета-распределений); от метода оценивания параметров. Различия в предельных распределениях той же самой статистики при проверке простых и сложных гипотез настолько существенны, что пренебрегать этим ни в коем случае нельзя.

См. также

• Критерий согласия Колмогорова
• Критерий согласия Купера
• Критерий Андерсона-Дарлинга
• Критерий согласия Пирсона
• Критерий согласия Ватсона

Литература

1. Большев Л. Н., Смирнов Н. В. Таблицы математической статистики. — М.: Наука, 1983. — 416 с.
2. Р 50.1.037-2002. Рекомендации по стандартизации. Прикладная статистика. Правила проверки согласия опытного распределения с теоретическим. Часть II. Непараметрические критерии. — М.: Изд-во стандартов. 2002. — 64 с.
3. Kac M., Kiefer J., Wolfowitz J. On Tests of Normality and Other Tests of Goodness of Fit Based on Distance Methods // Ann. Math. Stat., 1955. V.26. — P.189-211.
4. Мартынов Г. В. Критерии омега-квадрат. — М.: Наука, 1978. — 80 с.

Ссылки

О применении критерия при проверке сложных гипотез:

• Statistic Distribution Models for Some Nonparametric Goodness-of-Fit Tests in Testing Composite Hypotheses // Communications in Statistics — Theory and Methods, 2010. Vol. 39, No. 3. — P. 460—471.
• Модели распределений статистик непараметрических критериев согласия при проверке сложных гипотез с использованием оценок максимального правдоподобия. Ч.I // Измерительная техника. 2009. № 6. — С.3-11.
• Модели распределений статистик непараметрических критериев согласия при проверке сложных гипотез с использованием оценок максимального правдоподобия. Ч.II // Измерительная техника. 2009. № 8. — С.17-26.

О мощности критериев согласия:

• Сравнительный анализ мощности критериев согласия при близких конкурирующих гипотезах. I. Проверка простых гипотез // Сибирский журнал индустриальной математики. 2008. — Т.11. — № 2(34). — С.96-111.
• Сравнительный анализ мощности критериев согласия при близких альтернативах. II. Проверка сложных гипотез // Сибирский журнал индустриальной математики. 2008. — Т.11. — № 4(36). — С.78-93.
• Мощность критериев согласия при близких альтернативах // Измерительная техника. 2007. № 2. — С.22-27.