Коэффициент динамичности

Коэффициентом динамичности в теории колебаний называют безразмерную скалярную физическую величину, определяемую следующим выражением:

${\displaystyle \beta ={\frac {A}{A_{0}}}={\frac {1}{\sqrt {(1-{\frac {\omega ^{2}}{p^{2}}})^{2}+{\frac {4n^{2}\omega ^{2}}{p^{4}}}}}}\qquad \qquad (1)}$

где

• А — амплитуда
• А₀ — равновесная амплитуда, представляющая собой статическую деформацию упругой связи под действием максимальной силы P₀
• ω — частота возмущения
• p — собственная частота колебаний
• n — коэффициент, характеризующий силы вязкого трения

Коэффициент динамичности применяется для оценки влияния частоты возмущающей силы. Так же он показывает во сколько раз амплитуда вынужденных колебаний больше статического отклонения.

Непосредственное определение коэффициента n затруднительно. Поэтому в формулу (1) целесообразно вместо n ввести коэффициент поглощения ψ. Тогда

${\displaystyle \beta ={\frac {1}{\sqrt {(1-{\frac {\omega ^{2}}{p^{2}}})^{2}+{\frac {\psi ^{2}}{4\pi ^{2}}}}}}\qquad \qquad (2)}$

Преимуществом формулы (2) является то, что коэффициент динамичности поставлен в зависимость от энергетической характеристики трения ψ, что позволяет использовать эту формулу не только для вязкого трения, но и для других законов трения.

Можно также ввести в формулу для коэффициента динамичности логарифмический декремент δ. Воспользовавшись приближенной зависимостью

${\displaystyle \delta \approx {\frac {1}{2\psi _{\omega =p}}}}$

получим

${\displaystyle \beta ={\frac {1}{\sqrt {(1-{\frac {\omega ^{2}}{p^{2}}})^{2}+({\frac {\delta }{\pi }})^{2}({\frac {\omega }{p}})^{2}}}}\qquad \qquad (3)}$

Из анализа приведённых выше зависимостей следует, что при приближении частоты возмущения ω к частоте собственных колебаний p коэффициент динамичности возрастает. Максимум амплитуды колебаний достигается при ω/p=1; при этом

${\displaystyle \beta _{max}={\frac {2\pi }{\Psi _{(\omega =p)}}}\approx {\frac {\pi }{\delta }}\qquad \qquad (4)}$

где

• δ — логарифмический декремент колебаний
• ω — частота возмущения
• p — собственная частота колебаний

По аналогии с электрическими системами эта величина называется добротностью механической системы.

Литература

• В. Л. Бидерман. Теория механических колебаний. — Высшая школа, 1980. — 408 с. — 10 000 экз. (недоступная ссылка)

См. также

• Добротность