Конкатенация

Конкатена́ция (лат. concatenatio «присоединение цепями; сцепле́ние») — операция склеивания объектов линейной структуры[1], обычно строк. Например, конкатенация слов «микро» и «мир» даст слово «микромир».

В математике

Конкатенация — бинарная операция, определённая на словах данного алфавита. Обозначения:

• ${\displaystyle A}$ — алфавит, набор букв;
• ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \beta }$, ${\displaystyle \gamma }$ — слова, составленные из букв;
• ${\displaystyle a_{1}\ldots a_{n}}$ и ${\displaystyle b_{1}\ldots b_{m}}$ — записанные подряд и пронумерованные буквы двух слов.

Если ${\displaystyle \alpha =a_{1}\ldots a_{n}}$ и ${\displaystyle \beta =b_{1}\ldots b_{m}}$ — слова из алфавита ${\displaystyle A}$, то конкатенацией слов ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$, которую обозначим в этой статье как ${\displaystyle \alpha \cdot \beta }$, будет слово ${\displaystyle \gamma }$ из того же алфавита ${\displaystyle A}$, определяемое равенством

${\displaystyle \gamma =\alpha \cdot \beta =a_{1}\ldots a_{n}b_{1}\ldots b_{m}}$.

Например, если ${\displaystyle \alpha =media}$ и ${\displaystyle \beta =wiki}$ — слова из алфавита ${\displaystyle A=\{a,b,c,\ldots ,z\}}$, содержащем все буквы латинского алфавита, то

${\displaystyle \gamma =\alpha \cdot \beta =media\cdot wiki=mediawiki}$.

Свойства конкатенации

• Операция конкатенации ассоциативна. То есть, если нужно выполнить конкатенацию трёх слов, то от расстановки скобок результат не изменится: ${\displaystyle (wiki\cdot media)\cdot pedia=wikimediapedia}$, и в то же время ${\displaystyle wiki\cdot (media\cdot pedia)=wikimediapedia}$.
• Операция конкатенации некоммутативна. В самом деле, ${\displaystyle wiki\cdot media=wikimedia}$, но ${\displaystyle media\cdot wiki=mediawiki\neq wikimedia}$: от перестановки операндов меняется результат операции, что и означает её некоммутативность.
• Пустое слово ${\displaystyle \varepsilon }$ — является нейтральным элементом (единицей) операции конкатенации. То есть, если ${\displaystyle \varepsilon }$ — пустое слово, то для любого слова ${\displaystyle \alpha }$ выполнено равенство:

${\displaystyle \varepsilon \cdot \alpha =\alpha \cdot \varepsilon =\alpha }$.

• Множество ${\displaystyle A^{*}}$ всех слов в алфавите образует моноид (так называемый «свободный моноид»^[англ.]).
• Множество ${\displaystyle A^{*}\setminus \{\varepsilon \}}$ всех непустых слов в алфавите образует полугруппу.
• Длина (количество букв) конкатенации слов равна сумме длин операндов:

${\displaystyle |\alpha \cdot \beta |=|\alpha |+|\beta |}$.

Итерации

Операция конкатенации слов, подобно операции умножения чисел, порождает операцию итерации (или возведения в степень). Пусть ${\displaystyle \alpha }$ — некоторое слово из алфавита ${\displaystyle A}$, а ${\displaystyle n}$ — целое неотрицательное число. Тогда ${\displaystyle n}$-ой степенью слова ${\displaystyle \alpha }$, обозначаемой ${\displaystyle \alpha ^{n}}$, будет слово ${\displaystyle \gamma }$ в том же алфавите ${\displaystyle A}$, определяемое равенством:

${\displaystyle {\begin{matrix}\gamma =\alpha ^{n}=&\underbrace {\alpha \cdot \ldots \cdot \alpha } \\&n\end{matrix}}}$

(повтор слова ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle n}$ раз). Пример: «a»^3=«aaa».

В случае ${\displaystyle n=0}$, степень ${\displaystyle \alpha ^{0}}$ по определению полагается равной пустому слову, ${\displaystyle \varepsilon }$.

В информатике

Операция конкатенации определяется для типов данных, имеющих структуру последовательности (список, очередь, массив и ряд других).В общем случае, результатом конкатенации двух объектов ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ является объект ${\displaystyle C=A\cdot B}$[2], полученный поочерёдным добавлением всех элементов объекта ${\displaystyle B}$, начиная с первого, в конец объекта ${\displaystyle A}$.

Из соображений удобства и эффективности различают две формы операции конкатенации:

1. Модифицирующая конкатенация. Результат операции формируется в левом операнде.
2. Немодифицирующая конкатенация. Результатом является новый объект, операнды остаются неизменными.

См. также

• Перебор по словарю

Примечания

1. Борзенко Владимир Игоревич. Кратная конкатенация (рус.) // Школа №1553 им. В.И. Вернадского. — 2024. — С. 1.
2. Александр Охотин. [https://users.math-cs.spbu.ru/~okhotin/teaching/tcs3_2018/okhotin_tcs3_2018_l1.pdf Формальные языки и действия над ними. Регулярные выражения. Детерминированные и недетерминированные конечные автоматы. Детерминизация недетерминированных автоматов, преобразование регулярных выражений к автоматам∗] (неопр.). — 2018. — С. 2. — 12 с. Архивировано 20 декабря 2024 года.