Родился 3 апреля 1959 года в Харькове. Учился в школе теоретической физики, основанной Львом Ландау. В 1981 г. окончил с отличием Харьковский университет. С 1981 по 1990 год научный сотрудник в Физико-техническом институте низких температур имени Б. И. Веркина НАН Украины (ФТИНТ). Там же защитил диссертацию кандидата физико-математических наук по теме «Динамика солитонов и процессы их взаимодействия в почти интегрируемых системах» (1984).
В 1991—1993 работал в университете Дюссельдорфа. С 1993 года возглавляет созданный им Центр нелинейной физики в Австралийском национальном университете. В 2002 году избран в Австралийскую академию наук.
Kivshar Yu.S., Agrawal G.P. Optical Solitons: From Fibers to Photonic Crystals. — Academic Press, 2003. Русский перевод: Кившарь Ю.С., Агравал Г.П. Оптические солитоны: От световодов к фотонным кристаллам. — М.: Физматлит, 2005.
Braun O.M., Kivshar Yu.S. The Frenkel-Kontorova Model: Concepts, Methods, and Applications. — Springer, 2004. Русский перевод: Браун О.М., Кившарь Ю.С. Модель Френкеля-Конторовой: Концепции, методы, приложения. — М.: Физматлит, 2008.
Staude I., Miroshnichenko A.E., Decker M., Fofang N.T., Liu S., Gonzales E., Dominguez J., Luk L.S., Neshev D.N., Brener I., Kivshar Yu.S. Tailoring Directional Scattering through Magnetic and Electric Resonances in Subwavelength Silicon Nanodisks // ACS Nano. — 2013. — Vol. 7. — P. 7824–7832. — doi:10.1021/nn402736f.
Chang G. Journey from solitons to nanophotonics: an interview with Professor Yuri Kivshar // Advanced Photonics. — 2021. — Vol. 3. — P. 010502. — doi:10.1117/1.AP.3.1.010502.