Квантор всеобщности

Символ со сходным начертанием: Ɐ · 𐍵 · 🝧

Квантор всеобщности (обозначения: ${\displaystyle \forall }$, ∀) — условие, которое верно для всех обозначенных элементов, в отличие от квантора существования, где условие верно только для каких-то отдельных элементов из указанного множества. Формально это квантор, используемый для обозначения того, что множество целиком лежит в области истинности указанного предиката. Читается как «для всех…», «для каждого…», «для любого…» или «все…», «каждый…», «любой…».

Квантор всеобщности — это объект, с помощью которого формализуется высказывание о том, что какое-то логическое выражение истинно для всего или по крайней мере для той области определения, в которой это выражение имеет смысл. Применяется в предикатной и символической логике.

Варианты чтения

Выражение ${\displaystyle (\forall x\in X)P(x)}$ читается так:

• для любого (всякого, каждого) значения x из множества X утверждение (предикат) P(x) истинно;
• всякий (любой, каждый) элемент x множества X (где X — множество значений переменной x) обладает свойством P(x);
• каково бы ни было значение x из множества X, P(x) — истина.

Интерпретации

В теории кванторов Пирса кванторы трактуются как функции логического выбора. Квантор существования оставляет возможность для говорящего сделать выбор объекта в универсуме дискурса, тогда как квантор всеобщности даёт такую функцию выбора тому, кому это утверждение было высказано (интерпретатору).

История

Символ ${\displaystyle \forall }$ для квантора всеобщности введён Герхардом Генценом в 1935 году по аналогии с символом квантора существования ${\displaystyle \exists }$, введённым Джузеппе Пеано в 1897 году.

Концепция была предложена ранее в книге Begriffsschrift (Исчисление понятий) (1879) Готлоба Фреге.

Несмотря на популярное заблуждение, обозначение символа произошло от немецкого für Alle (для всех), а никак не от английских слов All и Any (все, любой)[1]

Графема	Название	Юникод	HTML	мнемоника	LaTeX
∀	FOR ALL	U+2200	∀	&#forall;	\forall

Факты

В теоретико-игровой семантике Яакко Хинтикки квантор всеобщности называется «Абеляром», а квантор существования — «Элоизой».