Кристьян Кангур начал профессиональную карьеру в клубе «Калев», за который выступал до 2004 года, за это время завоевав два титула чемпиона Эстонии (в 2002 и 2003 годах) и Кубок Эстонии (в 2001 году). В 2004 году подписал контракт с немецким клубом «Байер Джайентс» Леверкузен, где провёл два года, после чего вернулся на родину и ещё три сезона играл за «Калев/Крамо». Проведя в составе клуба 108 игр, успел трижды завоевать Кубок Эстонии (2006—2008) и стать в сезоне 2008/2009 чемпионом Эстонии[2]. По окончании этого сезона Кангур был признан самым ценным игроком финала чемпионата[3].
В сезоне 2009/2010 года Кангур выступал во Франции за АСВЕЛ, с которым выиграл Суперкубка Франции[2] и Кубок Лиги А в 2010 году[3]. Также в составе АСВЕЛа он впервые принял участие в турнире Евролиги. В мае 2010 года эстонец подписал контракт с болонском «Виртусом», в котором провёл несколько игр в плей-офф чемпионата Италии. После этого его приобрёл другой итальянский клуб — «Варезе». Кангур выступал за «Варезе» до 2012 года[2], в том числе проведя свой самый удачный сезон в итальянской лиге в 2011/2012, когда попал в десятку лучших игроков Серии А по числу результативных 3-очковых бросков и подборов мяча в обороне и проценту попаданий с игры[4].
Сезон 2012/2013 провёл в «Сиене», с которой завоевал титул чемпиона Италии и Кубок Италии. В следующем сезоне перешёл в миланскую «Олимпию», с которой второй год подряд стал чемпионом, но после этого снова вернулся в «Варезе». В сезоне 2015/2016 был на два месяца арендован в «Басконию», где заменял травмированного Торнике Шенгелию[2]. По возвращении в «Варезе» Кангур дошёл с итальянским клубом до финала Кубка ФИБА Европа, где проиграл со счётом 62:66 немецкому «Фрапорту»[5]. В сентябре 2017 года вернулся в Эстонию, снова присоединившись к составу «Калев/Крамо»[6]. С этим клубом он в 2018 году завоевал свой четвёртый титул чемпиона Эстонии и во второй раз за карьеру был признан самым ценным игроком финала[7].
Перед началом сезона 2020/21 перешёл из «Калева» в клуб «ТалТех», но в середине сезона совершил новый переход — в команду «Пярну Садам», с которой завоевал серебряные медали национального первенства, уступив только «Калеву/Крамо». В начале сезона 2021/22 «Калев» снова подписал контракт со своим бывшим центровым после того, как в первом туре чемпионата Латвийско-эстонской баскетбольной лиги получил травму Камари Мерфи[8].
