Информация Фишера

Информа́ция Фи́шера — математическое ожидание квадрата относительной скорости изменения условной плотности вероятности ${\displaystyle p(x|\theta )}$[1]. Эта функция названа в честь описавшего её Рональда Фишера.

Определение

Пусть ${\displaystyle f(\theta ,\;x_{1},\dots ,\,x_{n})}$ — плотность распределения для данной статистической модели. Тогда если определена функция

${\displaystyle I_{n}(\theta )=\mathbb {E} _{\theta }\left({\frac {\partial L(\theta ,\;x_{1},\dots ,\,x_{n})}{\partial \theta }}\right)^{2},\;L=\sum _{i=1}^{n}\ln f(\theta ,x_{i})}$,

где ${\displaystyle L(\theta ,\;x_{1},\dots ,\,x_{n})}$ — логарифмическая функция правдоподобия, а ${\displaystyle \mathbb {E} _{\theta }}$ — математическое ожидание по ${\displaystyle x}$ при данном ${\displaystyle \theta }$, то она называется информацией Фишера для данной статистической модели при ${\displaystyle n}$ независимых испытаниях.

Если ${\displaystyle \ln f(x;\theta )}$ дважды дифференцируем по ${\displaystyle \theta }$, и при определенных условиях регулярности, информацию Фишера можно переписать как [2]

${\displaystyle I_{n}(\theta )=\mathbb {E} _{\theta }\left({\frac {\partial L(\theta ,\;X)}{\partial \theta }}\right)^{2}=-\mathbb {E} _{\theta }\left({\frac {\partial ^{2}L(\theta ,\;X)}{\partial \theta ^{2}}}\right)}$

Для регулярных моделей: ${\displaystyle \mathbb {E} _{\theta }\left({\frac {\partial L(\theta ,\;x_{1},\dots ,\,x_{n})}{\partial \theta }}\right)=0}$ (В этом и состоит определение регулярности).

В этом случае, поскольку математическое ожидание функции вклада выборки равно нулю, выписанная величина равна её дисперсии.

Фишеровским количеством информации, содержащемся в одном наблюдении называют:

${\displaystyle I_{i}(\theta )=\mathbb {E} _{\theta }\left({\frac {\partial \ln f(\theta ,\,x_{i})}{\partial \theta }}\right)^{2}}$.

Для регулярных моделей все ${\displaystyle I_{i}(\theta )}$ равны между собой.

Если выборка состоит из одного элемента, то информация Фишера записывается так:

${\displaystyle I(\theta )=\mathbb {E} _{\theta }\left({\frac {\partial \ln f(\theta ,\,x)}{\partial \theta }}\right)^{2}}$.

Из условия регулярности, а также из того, что в случае независимости случайных величин дисперсия суммы равна сумме дисперсий, следует, что для ${\displaystyle n}$ независимых испытаний ${\displaystyle I_{n}(\theta )=nI(\theta )}$.

Свойства

• Из указанного выше свойства дисперсий следует, что в случае независимости случайных величин ${\displaystyle \xi _{1}(\theta ,\,x),\dots ,\,\xi _{n}(\theta ,\,x)}$ (рассматриваемых в одной статистической модели) информация Фишера их суммы равна сумме информации Фишера каждой из них.

Сохранение информации достаточной статистикой

В общем случае, если ${\displaystyle T=t(X)}$ — статистика выборки X, то

${\displaystyle I_{T}(\theta )\leq I_{X}(\theta )}$

Причем равенство достигается тогда и только тогда, когда T является достаточной статистикой.

Достаточная статистика содержит столько же информации Фишера, сколько и вся выборка X. Это может быть показано с помощью факторизационного критерия Неймана для достаточной статистики. Если статистика ${\displaystyle T(X)}$ достаточна для параметра ${\displaystyle \theta }$, то существуют функции g и h такие, что:

${\displaystyle f(X;\theta )=g(T(X),\theta )h(X)}$

Равенство информации следует из:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \theta }}\ln \left[f(X;\theta )\right]={\frac {\partial }{\partial \theta }}\ln \left[g(T(X);\theta )\right]}$

что следует из определения информации Фишера и независимости ${\displaystyle h(X)}$ от ${\displaystyle \theta }$.

См. также

• Неравенство Крамера — Рао
• Информационное неравенство (математическая статистика)

Другие меры, используемые в теории информации:

• Информационная энтропия
• Расстояние Кульбака — Лейблера
• Собственная информация

Примечания

1. Леман, 1991, с. 112.
2. Lehmann, E. L.^[англ.]; Casella, G. Theory of Point Estimation (неопр.). — 2nd ed. — Springer, 1998. — ISBN 0-387-98502-6. , eq. (2.5.16).

Литература

• Леман Э. Теория точечного оценивания. — М.: Наука, 1991. — 448 с. — ISBN 5-02-013941-6.